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（2007•咸安区模拟）设x=1是函数f（x）=x3+ax2+bx的一个极值点（a＞0）．

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/17 02:51:38
（2007•咸安区模拟）设x=1是函数f（x）=x3+ax2+bx的一个极值点（a＞0）．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞0，若f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为-3，最大值为0，求m与a的值．
（2007•咸安区模拟）设x=1是函数f（x）=x3+ax2+bx的一个极值点（a＞0）．
（ I）f'（x）=3x2+2ax+b…（1分）
由已知有：f'（1）=0，∴3+2a+b=0，∴b=-2a-3…（3分）
从而f'（x）=3(x−1)(x+
2a+3
3)
令f'（x）=0得：x1=1，x2=−
2a+3
3．∵a＞0∴x2＜-1
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x（-∞，x2）（x2，1）（1，+∞）
f'（x）+-+
f（x）增函数减函数增函数从上表可知：f（x）在(−∞，−
2a+3
3)，（1，+∞）上是增函数；
在(−
2a+3
3，1)，上是减函数   …（6分）
（ II）∵m＞0，∴m+1＞1．由（ I）知：
①当0＜m＜1时，m+1∈（1，2）．则最小值为f（1）=-3，得：a=1…（8分）
此时f（x）=x3+x2-5x．从而f（m）=m（m2+m-5）＜0，
∴最大值为f（m+1）=0，得m＝

21−3
2
此时f（m）=m（m2+m-5）=-2m（m+1）∈（-3，0），适合．…（10分）
②当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数．
∴最小值为f（m）=m（m2+am-2a-3）=-3（1）
最大值为f（m+1）=（m+1）[（m+1）2+a（m+1）-（2a+3）]=0．（2）…（12分）
由（2）得：m2+am-（2a+3）=-2m-1-a…（3）
将（3）代入（1）得：-m（2m+1+a）=-3．即m（2m+1+a）=3
又m≥1，a＞0∴2m+1+a＞3从而m（2m+1+a）＞3
∴此时的a，m不存在
综上知：m＝

21−3
2，a=1．…（14分）
导数 已知x属于（0,1）,f(x)=x3+ax2+x+1,--------*已知函数f（x）有且只有一个极值点,求a的 设函数f（x）=ax2+bx+c（a,b,c∈R）若x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点,则下列图像不可能为f（x） 设函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间． 已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1 设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点,求a的取 设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y= 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a＞1)在x=-1时有极值0 (3)是求实数c的范围 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切，求a 设函数f(x)=-1/3x3+2ax2-3a2x+a（a属于R）.求f(x)的单调区间和极值.抱拳了! 设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）． 已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+5，若x＝23时，y＝f(x)有极值，且曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为 设函数f(x)=ax2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点（1,f(x)）处的切线垂直于直线x 已知函数f（x）=x3-ax2-bx的图象与x轴相切于点（1，0），f（x）的极大值为______．