灵鹊做题网高中数学-立体几何-直线与平面所成夹角
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 07:00:52
高中数学-立体几何-直线与平面所成夹角
在直棱柱ABC-A1B1C1中,上、下底面是全等的等边三角形,且AB=4,AA1=√7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值
在直棱柱ABC-A1B1C1中,上、下底面是全等的等边三角形,且AB=4,AA1=√7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值
∵DE⊥面AA'C'C,∴DE⊥AC,又点D是BC中点,∴点E是AC的4等分点,AC=4CE=4,AE=3
作AF⊥A1E,交A1E于F,AF=3√7/4
又∵面A'DE⊥面AA'C'C,面A'DE∩面AA'C'C=A1E,
∴AF⊥面A'DE
∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角
在Rt△AFD中,AF⊥FD,AF=3√7/4,AD=2√3,
sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8
所以,直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8
再问： AF=3√7/4是怎么得出来的
再答： A1E=√[（√7）²+9）]=4 设A1F为x 得 √[（√7）²-x²]=√[3²-（4-x）²] 解得 x=7/4 AF=√[（√7）²-（7/4）²）]=3√7/4
作AF⊥A1E,交A1E于F,AF=3√7/4
又∵面A'DE⊥面AA'C'C,面A'DE∩面AA'C'C=A1E,
∴AF⊥面A'DE
∴∠ADF为直线AD和平面A1DE所成角
在Rt△AFD中,AF⊥FD,AF=3√7/4,AD=2√3,
sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/2√3=√21/8
所以,直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为√21/8
再问： AF=3√7/4是怎么得出来的
再答： A1E=√[（√7）²+9）]=4 设A1F为x 得 √[（√7）²-x²]=√[3²-（4-x）²] 解得 x=7/4 AF=√[（√7）²-（7/4）²）]=3√7/4