用向量(f法向量）求二面角的大小,有时求出的是二面角,有时是他的补角,这是怎么回事?如何判断是不是补角?谁知道说详细点,

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/16 20:27:51

用向量(f法向量）求二面角的大小,有时求出的是二面角,有时是他的补角,这是怎么回事?如何判断是不是补角?谁知道说详细点,最好有图有例子.

（一）
用向量法求二面角时,是先求的法向量的夹角,再推出二面角的大小.
而一个平面的法向量由定义得知可能有两个方向（如图1中α平面的法向量n1与法向量n1'）
对于求法向量夹角可能出现：
（1）如图2所示为n1与n2的夹角（=n1'与n2'的夹角）,易证即为二面角补角.
（2）如图3所示为n1与n2'的夹角（=n1'与n2的夹角）,易证即为二面角.
故有时是二面角,有时是其补角.
（二）
先令法向量夹角为θ,则可由公式求出cosθ.
再通过观察、推理或已知等,得到二面角的大小为锐角还是钝角.
（1）如果二面角为锐角,则其余弦值应为正.
若cosθ为正,则θ为二面角.
若cosθ为负,则θ为二面角补角.
以图中为例,二面角由观察可知为锐角.如果你算出法向量n1与n2,则cosθ为负,二面角大小为π-θ.
如果你算出法向量n1与n2',则cosθ为正,二面角大小为θ.
（2）如果二面角为钝角,则其余弦值应为负.同理有：
若cosθ为正,则θ为二面角补角.
若cosθ为负,则θ为二面角.
（三）
要用法向量计算二面角,先要计算法向量,
可以控制法向量的方向如图3一样（即一个指向二面角内,另一个指向二面角外）,就可以直接以θ为二面角.
也可以使法向量方向随意,只要像（二）中判断一下θ为二面角还是其补角.
求法向量可以使用待定系数法（参考百度百科之法向量）,
也可使用平面内两不共线向量叉乘得到（高中不掌握,最好使用前者）.

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