作业帮 > 数学 > 作业

圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/04 11:22:53
圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R,用平面几何知识
用平面几何知识解答,急
圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R
证明:分别作三角形ABC和三角形OBC的高AH和OG
则 AH//OG
所以 OD/AD=OG/AH
因为 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积=OG/AH
所以 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积=OD/AD
同理 三角形OAC的面积/三角形ABC的面积=OE/BE
三角形OAB的面积/三角形ABC的面积=OF/CF
三式相加可得:OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
因为 OD/AD=(AD--AO)/AD=1--AO/AD
OE/BE=1--BO/BE
OF/CF=1--CO/CF
所以 (1--AO/AD)+(1--BO/BE)+(1--CO/CF)=1
即:AO/AD+BO/BE+CO/CF=2
因为AO=BO=CO=R
所以 R/AD+R/BE+R/CF=2
即:1/AD+1/BE+1/CF=2/R.