二元函数由可微证连续怎么证只用证一个点就够了

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 13:59:42

二元函数由可微证连续
怎么证
只用证一个点就够了

这个很容易,你把极限式子变变形就好了.可微说的就是（我这里用Dx,Dy 表示x,y的增量）,存在数a,b,使得：
lim (Dx,Dy 趋于零) [f(x0 + Dx,y0 + Dy) - f(x0,y0) - aDx - bDy] / sqrt [(Dx)^2 + (Dy)^2] = 0,
由于 f(x0 + Dx,y0 + Dy) - f(x0,y0)
= [f(x0 + Dx,y0 + Dy) - f(x0,y0) - aDx - bDy] / sqrt [(Dx)^2 + (Dy)^2] * sqrt [(Dx)^2 + (Dy)^2]
+ aDx + bDy,
上一行的东西在 Dx,Dy 趋于零时极限就是0,为可微定义,下一行的东西显然也是趋于零的,于是
f(x0 + Dx,y0 + Dy) - f(x0,y0) 趋于0,这不就是连续了么（都是在(x0,y0)处讨论连续和可微）.

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