偏导数存在不一定连续多元函数,偏导数存在 函数不一定 连续为什么?(一元函数,可导一定连续,为何不能推广到多元?)
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 18:05:21
偏导数存在不一定连续
多元函数,偏导数存在 函数不一定 连续
为什么?
(一元函数,可导一定连续,为何不能推广到多元?)
多元函数,偏导数存在 函数不一定 连续
为什么?
(一元函数,可导一定连续,为何不能推广到多元?)
把二元函数想像成平面上的函数,则连续需要在各个方向(横的,竖的,斜的)直线上都连续;而对x的偏导数存在只说明函数限制到每条横的直线(y=a)上后作为x的一元函数可导,对y的偏导数存在只说明函数限制到每条竖的直线(x=a)上后作为y的一元函数可导.
最简单的例子:定义二元函数在左半平面取0,右半平面取1,则它在每条竖的直线上都可导(因为是常数),而在横的直线上不连续(左0右1),所以它对y的偏导数存在但不连续;类似地,定义二元函数在下半平面取0,上半平面取1,则它对x的偏导数存在但不连续.
即使二元函数对x和y的偏导数都存在,只说明它在所有横的和竖的直线上可导,理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续.这种函数没有上面那么容易想,但确实是存在的,一般微积分书上会给出标准的例子:f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).
推广一下,一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数,连续需要在各个方向的平面上都连续,而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导--后者推不出前者. 一元函数不会有这种问题,因为直线上只有一种方向
最简单的例子:定义二元函数在左半平面取0,右半平面取1,则它在每条竖的直线上都可导(因为是常数),而在横的直线上不连续(左0右1),所以它对y的偏导数存在但不连续;类似地,定义二元函数在下半平面取0,上半平面取1,则它对x的偏导数存在但不连续.
即使二元函数对x和y的偏导数都存在,只说明它在所有横的和竖的直线上可导,理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续.这种函数没有上面那么容易想,但确实是存在的,一般微积分书上会给出标准的例子:f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).
推广一下,一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数,连续需要在各个方向的平面上都连续,而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导--后者推不出前者. 一元函数不会有这种问题,因为直线上只有一种方向
偏导数存在不一定连续多元函数,偏导数存在 函数不一定 连续为什么?(一元函数,可导一定连续,为何不能推广到多元?)
多元函数:偏导数存在、可微分、连续!
多元函数可微为什么不能推出偏导数存在且连续
多元函数连续能推出偏导数存在吗?
多元函数可导,为什么加上偏导数连续连续才能可微?
多元函数连续是不是x、y方向的偏导数一定存在?
为什么多元函数在一点处的偏导数存在且连续仍不能证明该函数在该点处可微?
多元函数偏导数和函数连续是什么关系?函数连续可以对出其在这点各方向偏导数存在且连续吗
关于多元函数连续可微与偏导数连续的关系
多元函数微分:二阶偏导连续,混合偏导数就一定相等吗?为什么?
高数:多元函数可微与偏导数连续的 是充分还是必要,为什么,
高数,多元函数,可导为何不能推出连续