求证 1的3次方+2的3次方+.+n的3次方=【n乘（n+1）/2】的平方

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 00:14:25

1、数学归纳法：
1）当n=1时,显然成立
2）设n=k时成立,则1^3+2^3+.+k^3=[k(k+1)/2]^2
则,当n=k+1时,
1^3+2^3+.+k^3+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=(k+1)^2[(k/2)^2+k+1]
=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]
=(k+1)^2[(k+2)/2]^2
=(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2
即n=k+1时也成立
综上,1^3+2^3+.+n^3 = [n(n+1)/2]^2
2、导数和微积分：
令1^3+2^3+...n^3=S(n),两边取导数,
3(1^2+2^2+...+n^2)=S '(n)
已知1^2+2^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
则有S '(n)= n(n+1)(2n+1)/2=(2n^3+3n^2+n)/2
对(2n^3+3n^2+n)/2 求积分,得到(n^4+2n^3+n^2)/4 + C = [n(n+1)/2]^2 + C(C为常数)
将n=1代入,可得得C=0
即S(n)= [n(n+1)/2]^2

求证 1的3次方+2的3次方+.+n的3次方=【n乘（n+1）/2】的平方已知三分之一xyz平方乘N=三分之一x的4n+1次方y的n+3次方z的5次方除以5x的2n+1次方y的n-1次方,求N 同底数幂的乘法：x的n次方乘x的n+1次方+x的n+1次方乘x的n-2的次方+（-x）的3次方乘（-x）的2n-4次方 2的n次方乘3的N次方乘5的n+2次方除以30的n次方, 求证：5的2次方*3的2n+1次方*2的n次方-3的n次方*6的n+2次方能被13整除 lim(n趋于无穷)(1的n次方+2的n次方+3的n次方+4的n次方)的1/n次方=? 1+2+3+.+n=a,求代数式（x的n次方乘y)（x的n-1次方乘y的平方） n的1次方+n的2次方+n的3次方+...+n的n次方等于多少? 请你说明N=5的平方乘3的2n-1次方乘2的n次方-3的n次方乘6的n+2能被13整除的理由求证5的二次方*3的2n+1次方*2的n次方-3的n次方*6的n+2次方能被13整除计算[(b-3a)的平方]的n+1次方乘[(3a-b)的2n+1次方]的3次方(n为正整数) 计算：(3a的2n-2次方)的平方乘(2a的n+1次方)的立方