在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动．如图1所

在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动．如图1所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动．
（1）点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置．若不能,请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时,设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围；
（3）在满足（2）中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切（如图2）,试探究直线EF与⊙O的位置关系,并证明你的结论．

..

（1）能.
当∠EOF=45°,且∠EOF是等腰三角形的顶角时
三角形EAF也是等腰三角形（根据等腰三角形的对称性）
AE=AF
过E作EG与AC平行,过F作FG与AC平行,EG与FG交于G点
自己作图研究一下,不能全靠别人）不难发现AE+根号2AE=根号2
AF=AE=根号2/(1+根号2)=2-根号2
所以F点和E点在距离A点2-根号2处
当∠EOF是等腰三角形的底角时
E点或F点中,有一点与A重合,另一点在它所在的线的中点上.
（几何画图很重要）
（2）OE^2=2+x^2-2根号2xcos45=2+x^2-2x=x^2-2x+2
OE=根号(x^2-2x+2)
OF^2=2+y^2-2根号2ycos45=2+y^2-2y=y^2-2y+2
OF=根号(y^2-2y+2)
EF^2=OE^2+OF^2-2OE*OFcos45=x^2-2x+2+y^2-2y+2-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
AE^2+AF^2=EF^2
(2-x)^2+(2-y)^2=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
4+x^2-4x+4+y^2-4y=x^2-2x+y^2-2y+4-根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
2x-4+2y=根号[2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)]
4(x+y-2)^2=2(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)
2(x+y-2)^2=(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)
2x^2+2y^2+4xy-8x-8y+8=x^2y^2-2yx^2+2x^2-2xy^2+4xy-4x+2y^2-4y+4
-4x-4y+4=x^2y^2-2yx^2-2xy^2
-4x-4y+4=x^2y^2-2xy(x+y)
x^2y^2-2xy(x+y)+4(x+y)-4=0
x^2y^2-4-2(xy-2)(x+y)=0
(xy-2)(xy+2)-(xy-2)(2x+2y)=0
(xy+2-2x-2y)(xy-2)=0
xy+2-2x-2y=0或xy=2
(x-2)y=2x-2或xy=2
y=2(x-1)/(x-2)或y=2/x
当y=2(x-1)/(x-2)时0
再问： 我知道大体做法，就是不知道怎样证明，麻烦你写详细点，我一定加分
再答： 具体哪个地方不懂，就问哪个地方，我再解释吧，这样分析够详细了，再详细就完全把答案写给你抄了！
再问： AE=AF 过E作EG与AC平行，过F作FG与AC平行，EG与FG交于G点 （过程略，自己作图研究一下，不能全靠别人）不难发现AE+根号2AE=根号2 这些，我要过程
再答： AE=AF利用了图形的对称性，没什么好讲的，图形画一下，就发现了，AE不等于AF无法使OEF成为等腰三角形，或者可以通过全等证明，不过说明起来比较麻烦 O是中点，BO=CO OE=OF 加上他们有两个角等于45度 画出两种情况，证明三角形OBE和三角形OCF不全等的情况是不存在的。 就可以证明AE=AF 这么麻烦，一句对称性就搞定，何乐而不为？ 至于下面的 AEFG是一个正方形 AG=根号2AE 然后通过角AOB等于45度的一半 角OEB=（180-角B）*1/2即135度的一半 再通过角OEG=90-角OEB可得 角OEG=角AOB 所以GO=GE=AE AO=GO+AG=根2 把值代进去就是那个等式了