G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 14:02:43

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^2+3PG^2

首先根据余弦定理可以写出下列三式：
GA^2+PG^2-PA^2=2GA*PG*cos角AGP
GB^2+PG^2-PB^2=2GB*PG*cos角BGP
GC^2+PG^2-PC^2=2GC*PG*cos角CGP
三式相加并与问题比较,可知原命题等价于证明：
GA*cos角AGP+GB*cos角BGP+GC*cos角CGP=0,对于任意点P成立
这个的证明需要用到重心的性质：重心三等分中线
可以选取直线PG为坐标轴,然后用余弦的定义和上述性质就可以证明了

G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点.求证：PA^2+PB^2+PC^2=GA2+GB^2+GC^ .已知G为三角形ABC的重心,P为平面上任意一点,求证向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC) 已知G为三角形ABC的重心,P为平面上任意一点,求证向量PG=1/3(向量PA+向量PB+向量PC) 若G为三角形ABC的重心,P为平面上任一点,求证PG=1/3(PA+PB+PC) P是三角形ABC所在平面上的一个点,PA+PB+2PC=0.三角形ABC面积为1.求三角形ABP的面积已知g为三角形ABC的重心,三角形ABC所在平面内一点p满足2向量pb+2向量pc=0,则ap的模长/ag的模长等于多少 P是三角形ABC所在平面上的一点,满足PA向量+PB向量+2PC向量=0,若三角形ABC的面积为1,求三角形ABP的面积已知三角形ABC中,角ABC=90度,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC.求证：平面PAC垂直平面ABC. 已知三角形ABC中,角ABC=90,P为三角形ABC所在平面外一点,PA=PB=PC,求证平面PAC垂直平面ABC. 证明G为三角形ABC所在平面内一点,GA+GB+GC=0点G是三角形ABC的重心已知P为矩形ABCD所在平面上任意一点,求证:|PA|^2+|PC|^2=|PB|^2+|PD|^2 若G为△ABC的重心.P为平面上任一点.求证:向量PG=1\3(PA+PB=PC) { PG,PB.PA.PC}为向量