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已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/n

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 01:43:26
已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/n
RT 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题
已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/n
证:
a1=2 q=3
Sn=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1
Sn+1=2[3^(n+1)-1]/(3-1)=3^(n+1)-1
Sn+1/Sn=[3^(n+1)-1]/(3^n-1)
=[3^(n+1)-3+2]/(3^n-1)
=3+2/(3^n-1)
3+2/(3^n-1)-(3n+1)/n
=2/(3^n-1)-1/n
=(2n-3^n+1)/[n(3^n-1)]
2n+1和3^n均单调递增,令2n+1=3^n,解得n=1
当n>1时,恒有2n+1