灵鹊做题网求教：难题 两条直线的位置关系
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 10:51:07
求教：难题 两条直线的位置关系
已知三点P(1,2),Q(2,1),R(3,2),过原点O作一直线,使得P,Q,R到此直线的距离的平方和最小,求此直线的方程.
还没有学习导数
此题放在了直线的位置关系章节中
还有其他方法吗？比如数形结合。
已知三点P(1,2),Q(2,1),R(3,2),过原点O作一直线,使得P,Q,R到此直线的距离的平方和最小,求此直线的方程.
还没有学习导数
此题放在了直线的位置关系章节中
还有其他方法吗？比如数形结合。
过原点O作一直线,设直线方程为y=kx
直线y=kx 一般方程为kx-y=0,点(m,n)到直线的距离
d=|km-n|/√(k^2+1)
d^2=(km-n)^2/(k^2+1)
所以P,Q,R到此直线的距离的平方和
＝[1/(k^2+1)]*[(k-2)^2+(2k-1)^2+(3k-2)^2]
=[1/(k^2+1)]*[14k^2-20k+9]
=14-[1/(k^2+1)]*[20k+5]
=14-5*(4k+1)/(k^2+1)
求最小值!即求：（4k+1)/(k^2+1)最大值!
对其求导
[4*(k^2+1)-2k*（4k+1)]/(k^2+1)^2
令其等于0,
即：4*(k^2+1)-2k*（4k+1）＝0
k^2＋k/2-1=0
解得k=(－1+√17)/4
k不存在时,l为y轴,3点到y轴距离平方和为14,而14>(-1+√17)/4
所以k=(-1+√17)/4
所以所求的直线为y=(－1+√17)*x/4
结合数形没结合上,只能帮你不利用倒数求下最值.
过原点O作一直线,设直线方程为y=kx
直线y=kx 一般方程为kx-y=0,点(m,n)到直线的距离
d=|km-n|/√(k^2+1)
d^2=(km-n)^2/(k^2+1)
所以P,Q,R到此直线的距离的平方和
d＝[1/(k^2+1)]*[(k-2)^2+(2k-1)^2+(3k-2)^2]
=[1/(k^2+1)]*[14k^2-20k+9]
整理得：
(14-d)k^2-20k+9-d=0
由判别式≥0
有：（23-5√17）/2≤d≤（23+5√17）/2
且d≠14
所以d最小为：（23-5√17）/2
解得k=(-1+√17)/4
k不存在时,l为y轴,3点到y轴距离平方和为14,而14>(-1+√17)/4
所以k=(-1+√17)/4
所以所求的直线为y=(－1+√17)*x/4
直线y=kx 一般方程为kx-y=0,点(m,n)到直线的距离
d=|km-n|/√(k^2+1)
d^2=(km-n)^2/(k^2+1)
所以P,Q,R到此直线的距离的平方和
＝[1/(k^2+1)]*[(k-2)^2+(2k-1)^2+(3k-2)^2]
=[1/(k^2+1)]*[14k^2-20k+9]
=14-[1/(k^2+1)]*[20k+5]
=14-5*(4k+1)/(k^2+1)
求最小值!即求：（4k+1)/(k^2+1)最大值!
对其求导
[4*(k^2+1)-2k*（4k+1)]/(k^2+1)^2
令其等于0,
即：4*(k^2+1)-2k*（4k+1）＝0
k^2＋k/2-1=0
解得k=(－1+√17)/4
k不存在时,l为y轴,3点到y轴距离平方和为14,而14>(-1+√17)/4
所以k=(-1+√17)/4
所以所求的直线为y=(－1+√17)*x/4
结合数形没结合上,只能帮你不利用倒数求下最值.
过原点O作一直线,设直线方程为y=kx
直线y=kx 一般方程为kx-y=0,点(m,n)到直线的距离
d=|km-n|/√(k^2+1)
d^2=(km-n)^2/(k^2+1)
所以P,Q,R到此直线的距离的平方和
d＝[1/(k^2+1)]*[(k-2)^2+(2k-1)^2+(3k-2)^2]
=[1/(k^2+1)]*[14k^2-20k+9]
整理得：
(14-d)k^2-20k+9-d=0
由判别式≥0
有：（23-5√17）/2≤d≤（23+5√17）/2
且d≠14
所以d最小为：（23-5√17）/2
解得k=(-1+√17)/4
k不存在时,l为y轴,3点到y轴距离平方和为14,而14>(-1+√17)/4
所以k=(-1+√17)/4
所以所求的直线为y=(－1+√17)*x/4