一、分解因式：x3-x2-x-2

一、分解因式：x3-x2-x-2
二、x5+x+1
三、求证：整数的平方,被3除不会余2,被4除不会余2,
四、求证：n是自然数时,n5-n一定能被30整数
五、从自然数1,2,3,……,1989种,最多可取出几个数使所取的数中任意三个数之和能被18整除
六、试证方程x2-3y2=17无整数解

1楼说实话答的不错,可是还是有些题...
有些题和2楼答的一样
x^3-x^2-x-2=x^3-2x^2+x^2-x-2=x^2(x-2)+(x-2)(x+1)=(x^2+x+2)(x-2)
x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1
=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1
=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]
=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)
整数可以分为被3整除,被3除余1,被3除余2
将以上3种分别设为3n,3n+1,3n+2
(3n)^2=9n^2可以被3整除
（3n+1)^2=9n^2+6n+1 被3除余1
（3n+2)^2=9n^2+12n+4被3除余1
也就是说整数的平方被3除不可能余2
同理将被4整除的数设为
4n,4n+1,4n+2,4n+3
(4n)^2=16n^2可以被4整除
(4n+1)^2=16n+8n+1被4除余1
(4n+2)^2=16n^2+16n+4可以被4整除
（4n+3)^2=16n^2+24n^2+9被4除余1
也就是说整数的平方被4除不可能余2或3
n^5-5
当n=1时 上式=0可以被30整除
当n不等于1时
上式可以分解为n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
做这道题必须能看懂(n-1)n(n+1)是3个连续自然数相乘
3个连续自然数中,必有一个可以被2整除,也必有一个可以被3整除
要证明上式可以被5整除有点麻烦
要注意到（n^2+1)
设连续的5个自然数（从5的整数倍开始,也可以从其他的数开始）分别是5m,5m+1,5m+2,5m+3,5m+4 m属于非负整数
(5m+2)^2=25m^2+20m+4
（5m+2)^2+1=25m^2+20m+5 可以被5整除
同理(5m+3)^2+1=25m^2+30m+10可以被5整除
连续的3个自然数中5m,5m+1,5m+2这种连续的3个自然数必有5m能被5整除
若是像5m+1,5m+2,5m+3,5m+4这连续的自然数中的3个连续的自然数中
若是5m+1,5m+2,5m+3这种3个连续的自然数则n=5m+2 则n^2+1能被5整除
若是5m+2,5m+3,5m+4这种3个连续的自然数则n=5m+3 则n^2+1也能被5整除
若是其他的3个连续自然数则必有5m则这组3个连续的自然数中也有能被5整除的数
因此(n-1)n(n+1)(n^2+1)可以被3,2,5整除因此5n^2-1能被30整除
若要任3个数之和能被18整除则必须是18的倍数
而不是像1楼所说的6的倍数
例如12+18+30=60不能被18整除而是能被6整除
因此1989/18=110个
不用什么穷举法只要用第3题的结论就可以了
因为x^2-3y^2=17
搜易可以的到x=根号下（3y^2+17)=根号下[3(y^2+5)+2}
设y^2+5为一个任意整数m
因为第3题中证得整数的平方被3除不可能余2
设x为一个整数
则x的平方=3m+2 3m+2为被3除余2的整数
与第3题证得的结论矛盾
因为y^2+5只是整数中的一部分
但是所有的整数都矛盾
因次y^2+5也矛盾
因此y^2+5不可能是一个整数
因此y^2也不可能是一个整数
因此该方程没有整数解
累死了终于解完了