用六种不同颜色（全用到）染一个正方体,则不同的染色方式共有几种?（用排列组合）

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/17 18:20:49

用六种不同颜色（全用到）染一个正方体,则不同的染色方式共有几种?（用排列组合）
要用排列组合,如：C2/3、A3/4（旋转后一样视为一种）

我算出来是30种,你先看看对不对：
　　如果不考虑旋转,而是把这个正方体固定在空间中,那么它的六个面就是各不相同的.可分别记作：上、下、左、右、前、后.
　　在这种情况下,染色方案就是一个全排列：A（6,6）＝6!.
再考虑旋转问题：
　　对于上面所说的“固定”正方体,任何的旋转都会得到一个新的“固定”正方体.显然,对“可旋转”正方体而言,这两个“固定”正方体是相同的.也就是说,每一种旋转,对于上面的染色方案都是一次重复.单说一个“固定”正方体,它的旋转方式有：
（1）上下不变,原地旋转：有3种新的结果,加上原来的就是4种；
（2）改变上下方位：确定了上,也就确定了下,六个面,所以共有6种上下方位；
　　上面两种变换是独立的,即：对（2）中的每一对上下,在（1）中都有4种旋转结果.所以全部的旋转方式就是：4×6＝24种.
　　而这些旋转方式,对于每个“固定”正方体都是一样的.所以,对于每个“可旋转”正方体而言,就有24次重复.那么去掉重复的染色方案就是：6!÷24＝30种.
　　还可以这样想：六种颜色,染到六个方位中.因为允许旋转,所以我们染色所考虑的不是每种颜色的绝对方位,而是它们的相对位置.采用分步法：
（1）先染一个方位,即确定一个起点：
　　因为不考虑绝对位置,所以谁做第一个、染什么颜色,都一样.所以,这一步只有1种结果.不妨先确定“上”,剩下的就是确定另外5个方位和5种颜色.
（2）染“下”：
　　因为“上”确定了,所以“下”也就确定了,所以只需考虑颜色：可选的颜色有5种；
（3）染“前后左右”：
　　4种颜色的排列；不过这4个方位是循环的,因此这是个“圆周排列”.结果就是：
　　　　A（4,4）／4＝6；
　　所以,最终结果为：1×5×6＝30种.

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