灵鹊做题网2012年益阳中考数学的最后一题及答案
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 11:19:18
2012年益阳中考数学的最后一题及答案
21．（2012•益阳）已知：如图1,在面积为3的正方形ABCD中,E、F分别是BC和CD边上的两点,AE⊥BF于点G,且BE=1．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2）,使点E落在CD边上的点E′处,问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,∴∠ABF+∠CBF=90°,∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF （2）∵正方形面积为3,∴AB= 在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE∴ ,又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4,∴S△BGE= ×S△ABE= = （3）没有变化．理由：∵AB= ,BE=1,∴tan∠BAE= = ,∠BAE=30°,∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′公共,∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,设BF与AE′的交点为H,则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共,∴△BAG≌△HAG∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化
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（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,∴∠ABF+∠CBF=90°,∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF （2）∵正方形面积为3,∴AB= 在△BGE与△ABE中,∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90°,∴△BGE∽△ABE∴ ,又∵BE=1,∴AE2=AB2+BE2=3+1=4,∴S△BGE= ×S△ABE= = （3）没有变化．理由：∵AB= ,BE=1,∴tan∠BAE= = ,∠BAE=30°,∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE'=90°,AE′公共,∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′,∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,∴AB′与AE在同一直线上,即BF与AB′的交点是G,设BF与AE′的交点为H,则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°,AG公共,∴△BAG≌△HAG∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化
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