∫(0到x)f(t)dt和∫(0到t)f(u)du,是相等的,为什么呢?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 17:18:24

∫(0到x)f(t)dt和∫(0到t)f(u)du,是相等的,为什么呢?
在一道题中,∫(0到x)f(t)dt和∫(0到t)f(u)du,是相等的,为什么呢,课本上有一段是这么说的“极限仅与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关”这两个数区间为什么相等呢?

因为f(t)和f(u)本来表示的是同个函数关系,只是f(t)中的自变量用t表示的,f(u)中的自变量用u表示的.只要积分区间相同,原函数自然相同.比如说,你的第一个积分区间是[0,x],第二个积分区间是[0,u],x与u只不过是自变量的不同表达形式,其实你愿意用任何一个字母都行.
这个问题看起来显而易见,但是解释起来真费劲,也不知道你看明白没,希望能对你有所帮助.
再问：噢谢谢我还是有点不明白，在第一个积分中x是"数"t是自变量，第二个积分中t是"数"u是自变量，这两个"数"不相等所以积分区间不一样，我是这么理解的觉得这两个积分积分区间不同所以不相等，我知道我这么理解是不对的，可又不知道错在哪？
再答：因为积分区间[0，x]中的x与积分区间[0，t]中的t，都不是具体的数，而是个变量。既然是变量，你可以用x表示，可以用t表示，也可以用别的字母表示，但实际都是一样的。
再问：你说的是∫(0到t)f(t)dt这个吧，是变上限积分吧，我感觉这道题里∫(0到x)f(t)dt里的x是具体的数呀，就好像∫(0到a)f(t)dt中的a一样，是不是这样？很迷惑呀~
再答： ∫(0到t)f(t)dt和∫(0到x)f(t)dt是同一个积分，变上限积分通常使用后者的表达形式，数学含义更明了。
再问： ∫(0到t)f(t)dt和∫(0到a)f(t)dt就不是同一个积分吧，这里x和a只要不是t意思都是应该是一样的吧，是对t积分但这里是x所以不是变上限积分，这样理解对吗？麻烦你啦，我会给你加分的~
再答： ∫(0到t)f(t)dt和∫(0到a)f(t)dt的确不是同一个积分，前者是变上限积分，结果是一个函数，而后者是定积，结果是一个数值。但是x通常表示的一个变量，而不是具体的数值，如果你一定要给x指定个数值，比如说x=5，那∫(0到t)f(t)dt和∫(0到x)f(t)dt。∫(0到t)f(t)dt=F(t)-F(0)，∫(0到x)f(t)dt=F(x)-F(0)，只要t和x都表示自变量，自然F(t)和F(x)表示的是同一个函数，从而F(t)-F(0)=F(x)-F(0)，两个积分也就相等。加不加分并不重要，希望能对你有所帮助。
再问：谢谢~可是在这道题里他也没特定说什么，难道是默认∫(0到x)f(t)dt和∫(0到t)f(u)du里x和t都是变上限积分吗？

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