证明同阶方阵A与B之积AB是不可逆阵,当且仅当A和B中至少有一个是不可逆阵-搜答案-灵鹊做题网

∵A2+AB+B2=0，∴A（A+B）=-B2，而B可逆，故：|-B2|=（-1）n|B|2≠0，∴|A（A+B）|=|-B2|≠0，∴A，A+B都可逆，证毕．

见http://zhidao.baidu.com/question/449580128.html

n阶矩阵乘积的秩有不等式r(AB)≥r(A)+r(B)-nAB=0,即有r(AB)=0,代入即得.还有一种想法,B的列向量都是线性方程组AX=0的解.于是AX=0解空间的维数n-r(A)应该≥B的列秩

A可逆,A^(-1)ABA=BA,因此AB与BA相似

设A,B分别是m*n和n*m矩阵,则AB是m级方阵,BA是n级方阵.所以m=n.

B是方程AX=0的非零解,故充要条件是|A|=0

A^2+AB+B^2=0-A^2-AB=B^2A(-A-B)=B^2因为B可逆,所以：A(-A-B)B^(-1)B^(-1)=B^2B^(-1)B^(-1)=E,E为单位阵.所以A有逆(-A-B)B^

AB=A-BAB-A+B-I=-I(A-I)(B+I)=-I(B+I)(A-I)=-IBA-A+B-I=-IBA=A-B所以AB=BA

BA=A^{-1}(AB)A,所以相似.A的秩等于n可以保证A是个可逆矩阵.

因为A可逆,所以A^(-1)ABA=BA所以AB与BA相似.

因为[A^(-1)]*AB*A=BA,所以AB与BA相似.注:A^(-1)指的是A的逆矩阵.

A+B+AB=0(I+A)(I+B)=-I即I+A可逆,逆矩阵为-(I+B).因此(I+B)(I+A)=-I即A+B+BA=0所以AB=BA

证明：由于矩阵A可逆，因此A-1存在，故A-1（AB）A=（A-1A）BA=BA，故AB与BA相似

|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|得证

因为A的n个特征值互异所以A可对角化,且A相似于对角矩阵diag(a1,...,an)又因为n阶方阵B与A有相同的特征值所以B也可对角化,且B相似于对角矩阵diag(a1,...,an)由相似的传递性

A的行列式不为零说明A可逆所以A^(-1)*AB*A=BA即AB与BA相似

我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.（1）n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.（2）证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.（3）证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们

由(AB)(B^(-1)A^(-1))=A(B·B(-1))A^(-1)=AEA^(-1)=AA^-1=E这说明(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1).

A,B可逆,所以A逆,B逆存在,故B逆A逆是一个n阶方阵.直接验证：(B逆A逆)*AB=B逆*(A逆*A)*B=B逆*B=I(单位阵).类似的,AB*(B逆A逆)=I.由逆矩阵的定义,B逆A逆正是AB