设A为m×n实矩阵且rankA=n证明ATA是正定矩阵-搜答案-灵鹊做题网

因为r(AB)

设一分块矩阵C上块为A下块为BCx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解r(C)

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题目应该是A乘A的转置为m阶正定矩阵.(AAT)T=AAT为对称阵任取m维向量x,考察xT(AAT)x=((ATx)T)ATx设xi为向量Ax的第i个元素,则((ATx)T)ATx=x1*x1+…+x

知识点:向量组a1,...,as线性无关的充要条件是向量组的秩等于s.R(A)=M,所以A的行向量组的秩为M.而A有M行,所以A的行向量组线性无关.R(A)=M,所以A的列向量组的秩为M.而A有N行,

因为B^T=(aI+A^TA)^T=aI+A^TA=B所以B也是实对称矩阵对任一非零n维列向量xx^TBx=x^T(aI+A^TA)x=ax^Tx+x^TA^TAx=ax^Tx+(Ax)^T(Ax)因

因为m=r(AB)

证:将B按列分块为B=(b1,...,bs)因为AB=0所以A(b1,...,bs)=(Ab1,...,Abs)=0所以Abi=0,i=1,...,s即B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量所以

由于A的秩

首先证明任取n维列向量x≠0,Bx≠0因为R(B)=n,所以存在B的n级子式不为0,不妨设B前n行构成的子式|B1|不为0,则若B1x=0必有x=0,矛盾.所以B1x≠0,所以Bx≠0.这样因为A正定

这就是著名的Sylvester公式.最简单的证明是用分块矩阵的乘法.┏EmO┓┏EsB┓┏Es-B┓＝┏EsO┓┗-AEn┛┗AO┛┗OEn┛┗O-AB┛∴r┏EsB┓＝r﹙Es﹚+r﹙-AB﹚＝s+

设A为M*N矩阵,且M

AA'对称显然,M*M.正定任意的M维非零向量x,有x'AA'x=(A'x)'(A'x)大于零.rankA=M注：任意的M维非零向量x,有x'AA'x=(A'x)'(A'x)大于等于零.A'x是N维向

AB的维数：m*m,是个方阵R(AB)

m>n时rank(AB)

对任何非0的n维实向量X,由于rank(A)=n,则AX!=0,从而有X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)=|AX|^2>0故A^TA是正定阵

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

D－－－－－根据定义,矩阵的秩是最高阶非零子式的阶.A的秩是r,所以高于r阶的子式全为零,且r阶子式一定有非零的.

答:A^TA是正定矩阵.对任一非零n维列向量x,因为r(A)=n,所以AX=0只有零解.所以Ax≠0所以(Ax)^T(Ax)>0即x^TA^TAx>0所以A^TA是正定矩阵.