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在椭圆X^2/25+Y^2/5=1上求一点P,使点P与椭圆两焦点的连线互相垂直

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 00:12:25
在椭圆X^2/25+Y^2/5=1上求一点P,使点P与椭圆两焦点的连线互相垂直
在椭圆X^2/25+Y^2/5=1上求一点P,使点P与椭圆两焦点的连线互相垂直
设点P的坐标为(5cosθ,√5sinθ).
由椭圆方程x^2/25+y^2/5=1,得:c=√(25-5)=2√5.
∴椭圆的两焦点坐标分别是F1(-2√5,0)、F2(2√5,0).
∴向量PF1=(-2√5-5cosθ,-√5sinθ), 向量PF2=(2√5-5cosθ,-√5sinθ).
∵PF1⊥PF2, ∴向量PF1·向量PF2=0,
∴(-5cosθ)^2-20+(-√5sinθ)^2=0, ∴25(cosθ)^2+5(sinθ)^2=20,
∴20(cosθ)^2+5=20, ∴4(cosθ)^2+1=4, ∴(cosθ)^2=3/4,
∴cosθ=±√3/2. ∴sinθ=±√[1-(cosθ)^2]=±√(1-3/4)=±1/2.
∴满足条件的P点的坐标有四组,分别是:
 (5√3/2,√5/2)、(-5√3/2,√5/2)、(-5√3/2,-√5/2)、(5√3/2,-√5/2).