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原题:计算三重积分,其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域.

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 02:53:25
原题:计算三重积分


,其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域.
原题:计算三重积分,其中积分区域D是由yoz面上的曲线 y^2=2z 绕z轴旋转而成的曲面与平面z=5所围成的闭区域.
先求旋转曲面的方程
设旋转曲面上一点是(x0,y0),yoz面上的曲线 为y^2=2z ,则
√(x0^2+y0^2)=y
得旋转曲面的方程为:z=(x^2+y^2)/2
z=(x^2+y^2)/2=5得
Dxy:x^2+y^2≤10
所以
∫∫∫(x^2+y^2)dv
=∫∫dσxy∫((x^2+y^2)/2~5)x^2+y^2 dz
=∫∫(5-(x^2+y^2)/2)*(x^2+y^2) dσxy
化为极坐标计算
∫(0~2π)dθ∫(0~√10)r*(5-r^2/2)*r^2 dr
=2π*(125/3)
=250π/3