灵鹊做题网解题：高中数学（充分条件与必要条件）
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/16 13:30:39
解题：高中数学（充分条件与必要条件）
设a,b,c为△ABC的三边,其中对角分别为A,B,C.
求证：方程x^+2ax+b^=0与x^+2cx-b^=0有公共根的充要条件是∠A=90°
设a,b,c为△ABC的三边,其中对角分别为A,B,C.
求证：方程x^+2ax+b^=0与x^+2cx-b^=0有公共根的充要条件是∠A=90°
证明：
先证必要性：若两方程公共根x,则x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx-b^2=0,两方程左右两边相加得2x^2+2x(a+c)=0,显然x不等于0,所以x=-(a+c),所以x(x+2a)+b^2=0,所以-(a+c)(a-c)+b^2=0,所以b^2=a^2-c^2,所以∠A＝90度
再证充分性,若∠A＝90度,则b^2=a^2-c^2
所以当x=-(a+c)时,x(x+2c)=-(a+c)(c-a)=-(c^2-a^2)=b^2,即x=-(a+c)是方程x^2+2cx-b^2=0的根
同理可证明x=-(a+c)是方程x^2+2ax+b^2=0的根
所以结论正确.
先证必要性：若两方程公共根x,则x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx-b^2=0,两方程左右两边相加得2x^2+2x(a+c)=0,显然x不等于0,所以x=-(a+c),所以x(x+2a)+b^2=0,所以-(a+c)(a-c)+b^2=0,所以b^2=a^2-c^2,所以∠A＝90度
再证充分性,若∠A＝90度,则b^2=a^2-c^2
所以当x=-(a+c)时,x(x+2c)=-(a+c)(c-a)=-(c^2-a^2)=b^2,即x=-(a+c)是方程x^2+2cx-b^2=0的根
同理可证明x=-(a+c)是方程x^2+2ax+b^2=0的根
所以结论正确.