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如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 21:47:31
如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G.

(1)当E是CD的中点时:
①tan∠EAB的值为 ___ ;
②证明:FG是⊙O的切线;
(2)试探究:BE能否与⊙O相切?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.
如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.点E是CD上的动点,以AE为直径的⊙O与AB交于点F,过点F作FG⊥BE于点G
(1)①过E作EH⊥AB于点H,则EF=AD=3,AF=DE=
1
2AB=
5
2,
故tan∠EAB=
EF
AF=
3

5
2=
6
5;
②法一:在矩形ABCD中,AD=BC,∠ADE=∠BCE,
又CE=DE,
∴△ADE≌△BCE,
得AE=BE,∠EAB=∠EBA.
连接OF,则OF=OA,
∴∠OAF=∠OFA,∠OFA=∠EBA.
∴OF∥EB.
∵FG⊥BE,
∴FG⊥OF,
∴FG是⊙O的切线.
(法二:提示:连EF,DF,证四边形DFBE是平行四边形.)
(2)法一:假设BE能与⊙O相切.
∵AE是⊙O的直径,
∴AE⊥BE,则∠DEA+∠BEC=90°.
又∠EBC+∠BEC=90°,
∴∠DEA=∠EBC,
∴Rt△ADE∽Rt△CEB,

AD
EC=
DE
BC.
设DE=x,则EC=5-x,AD=BC=3,

3
5-x=
x
3,
整理得x2-5x+9=0.
∵b2-4ac=25-36=-11<0,
∴该方程无实数根,
∴点E不存在,BE不能与⊙O相切.
法二:若BE能与⊙O相切,因AE是⊙O的直径,则AE⊥BE,∠AEB=90°.
设DE=x,则EC=5-x.
由勾股定理得:AE2+EB2=AB2
即(9+x2)+[(5-x)2+9]=25,
整理得x2-5x+9=0,
∵b2-4ac=25-36=-11<0,
∴该方程无实数根,
∴点E不存在,BE不能与⊙O相切.
(法三:本题可以通过判断以AB为直径的圆与DC是否有交点来求解)