灵鹊做题网dy/dx+x=(x^2+y)^1/2的通解
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 06:13:49
dy/dx+x=(x^2+y)^1/2的通解
让u=x^+y
那么y'=u'-2x
原方程为：du/dx-2x=根号下u
再让w=u+2x
则u'=w'-2
代入得到：dw/dx-2=w
积分：Ce^x=绝对值w+2
代入w=u+2x
得到Ce^x=绝对值u+2x+2
代入u=x^+y
得到Ce^x=绝对值y+x^+2x+2
再问： 答案是（x^2+y)^3/2=x^3+3/2xy+C.似乎不一样。其中du/dx-x=x^1/2对吗？
再答： 嗯？答案不同？很可能我哪步做错了。
但过程就是这样的。一会儿我吃完饭用纸笔演算一遍好不好？
再答： 日！我把根号忘了，昨晚眼睛花了……
再答： 我马上做
再答： 肯请见谅
再答： u'=x+根号u
换元是w=x+根号u
剩下的我纸笔运算，一会儿给你传图
再答： 设√(x^2＋y)-x=u,
x^2＋y=x^2＋2xu+u^2
y'=2u+2xu'+2uu' 代入得：
u=2u+2xu'+2uu'
u'=-u/(2u+2x)
或：dx/du+2x/u=-2
这是x作为函数、u作为变量的一阶线性微分方程，由通解公式：
x=(1/u^2)(C-(2/3)u^3)
xu^2+(2/3)u^3=C 代入√(x^2＋y)-x=u：
C=(2/3)u^2(3x/2+u)
=(2/3)(√(x^2＋y)-x)^2(x/2+√(x^2＋y))
C=(2/3)[(x^2＋y)-2x√(x^2＋y)+x^2](x/2+√(x^2＋y))
=(2/3)(x(x^2＋y)/2+(x^2+y)^(3/2)-x^2√(x^2＋y)-2x(x^2＋y)+x^3/2+x^2√(x^2＋y))
=(2/3)((x^2+y)^(3/2)-x^3-(3/2)xy)
那么y'=u'-2x
原方程为：du/dx-2x=根号下u
再让w=u+2x
则u'=w'-2
代入得到：dw/dx-2=w
积分：Ce^x=绝对值w+2
代入w=u+2x
得到Ce^x=绝对值u+2x+2
代入u=x^+y
得到Ce^x=绝对值y+x^+2x+2
再问： 答案是（x^2+y)^3/2=x^3+3/2xy+C.似乎不一样。其中du/dx-x=x^1/2对吗？
再答： 嗯？答案不同？很可能我哪步做错了。
但过程就是这样的。一会儿我吃完饭用纸笔演算一遍好不好？
再答： 日！我把根号忘了，昨晚眼睛花了……
再答： 我马上做
再答： 肯请见谅
再答： u'=x+根号u
换元是w=x+根号u
剩下的我纸笔运算，一会儿给你传图
再答： 设√(x^2＋y)-x=u,
x^2＋y=x^2＋2xu+u^2
y'=2u+2xu'+2uu' 代入得：
u=2u+2xu'+2uu'
u'=-u/(2u+2x)
或：dx/du+2x/u=-2
这是x作为函数、u作为变量的一阶线性微分方程，由通解公式：
x=(1/u^2)(C-(2/3)u^3)
xu^2+(2/3)u^3=C 代入√(x^2＋y)-x=u：
C=(2/3)u^2(3x/2+u)
=(2/3)(√(x^2＋y)-x)^2(x/2+√(x^2＋y))
C=(2/3)[(x^2＋y)-2x√(x^2＋y)+x^2](x/2+√(x^2＋y))
=(2/3)(x(x^2＋y)/2+(x^2+y)^(3/2)-x^2√(x^2＋y)-2x(x^2＋y)+x^3/2+x^2√(x^2＋y))
=(2/3)((x^2+y)^(3/2)-x^3-(3/2)xy)