灵鹊做题网高一数学题（有关函数）
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/19 15:20:47
高一数学题（有关函数）
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；
（1）.求证f(x)>0；
（2）.求证f(x)为减函数；
（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b),且当x1；
（1）.求证f(x)>0；
（2）.求证f(x)为减函数；
（3）.当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)f(5-x^2)
(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立.
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0,恒成立.则 f(x) > 0 成立.
采用反证法：
假设存在 x0,f(x0) = 0
那么对任意 x,f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾.因此 不存在 x0 ,使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
(3)当f(4)=1/16 时,解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16,所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ,舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4
根据 f(a)*f(b) = f(a+b),则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数,则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ,底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b),则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立.
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0,恒成立.则 f(x) > 0 成立.
采用反证法：
假设存在 x0,f(x0) = 0
那么对任意 x,f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾.因此 不存在 x0 ,使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
(3)当f(4)=1/16 时,解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4
f(4) = 1/16,所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ,舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4
根据 f(a)*f(b) = f(a+b),则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数,则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ,底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质