作业帮 > 数学 > 作业

已知数列(An)中,A1=1/3,AnA(n-1)=A(n-1)-An(n>=2),数列Bn满足Bn=1/An

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 04:11:11
已知数列(An)中,A1=1/3,AnA(n-1)=A(n-1)-An(n>=2),数列Bn满足Bn=1/An
(1)求数列Bn的通项公式
(2)求数列{an/n}的前n项和Tn,并证明Tn<3/4-1/(n+2)
已知数列(An)中,A1=1/3,AnA(n-1)=A(n-1)-An(n>=2),数列Bn满足Bn=1/An
由AnA(n-1)=A(n-1)-An两边同时除以AnA(n-1),便得到1/An-1/A(n-1)=1,所以B1=3,Bn-B(n-1)=1,于是Bn=n+2.
所以An=1/(n+2)
则An/n=1/[n(n+2)]=[1/n-1/(n+2)]/2
于是Tn=[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]/2
=[1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]/2
=3/4-[1/(n+1)+1/(n+2)]/2
由于1/(n+1)+1/(n+2)>1/(n+2)+1/(n+2)
所以Tn