【高二数学】关于一道数列极限题!

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/18 14:10:43

【高二数学】关于一道数列极限题!
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S3=9,又设bn=an*q^n（n∈N*）,其中常数q满足lim(1+q+q^2+...+q^n)=3/2,试求数列{bn}的前n项和Sn*及limSn*

S3=3a1+3d=9,a3=a1+2d=3解得:a1=1,d=2
则an=1+2(n-1)=2n-1
有因为lim(1+q+q^2+...+q^n)=lim(1-q^n)/(1-q)=1/(1-q)=3/2得q=1/3则bn=an*q^n=(2n-1)(1/3)^n=2n/3^n-1/3^n
设cn=2n/3^n,数列{cn}的前n项和Cn=2/3+(2*2)/3^2+...+(2*n)/3^n
Cn/3=2/3^2+(2*2)/3^2+...+(2*n)/3^(n+1)
两式相减得：Cn=3/2(1-1/3^n)-n/3^n
则数列{bn}的前n项和
Sn*=Cn-(1/3+1/3^2+...+1/3^n)=3/2(1-1/3^n)-n/3^n-(1/2(1-1/3^n))=1-1/3^n-n/3^n
limSn*=1

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