灵鹊做题网关于微分方程的一个问题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 17:09:43
关于微分方程的一个问题
题目是;xy'=y(1+lny-lnx)的通解
我看答案是这么解的：
dy/dx=y/x·(1+ln(y/x))
令y/x=u,u+x(du/dx)=u(1+lnu)
du/(ulnu)=1/xdx
两边积分：
lnlnu=lnx+lnC
这里,那个lnC怎么来的啊?
题目是;xy'=y(1+lny-lnx)的通解
我看答案是这么解的：
dy/dx=y/x·(1+ln(y/x))
令y/x=u,u+x(du/dx)=u(1+lnu)
du/(ulnu)=1/xdx
两边积分：
lnlnu=lnx+lnC
这里,那个lnC怎么来的啊?
du/(ulnu)=1/xdx
d(lnu)/lnu=dx/x
两边同时积分
lnu=lnx+C
就是常数
再问： 那应该是C啊，怎么会是lnC呢
再答： lnC和C一样的
我C可以等于ln(e^C),也可以等于lnC
再问： 哦，所以以后遇到ln的式子，直接是lnC吗？不是C对吧
再答： 写什么都可以，C代表一类常数，你求通解，随便怎么写都可以
一般还要求特解，就能求出C的值
再问： 但是我要写C的话那么最后的答案就是e^C，而写lnC的话，答案就是C了，这两个不一样啊
再答： 这么写吧
lnu=lnx+C1
最后是e^C1=C2
C是不确定的常数，怎么写都对的
再问： 那如果是特解的话C怎么写呢
再答： 特解能解出C的具体值。他会告诉你一个方程的
再问： 可以举个例子吗？比如“
x²dy+(2xy-x+1)dx=0满足初始条件y|x=1=0的特解
再答： d(yx^2)-0.5d(x^2)+dx=0
积分，得：y*x^2-0.5x^2+x=C
再将x=1,y=0代入上式，得到C=0.5
y*x^2-0.5x^2+x=0.5
如果y*x^2-0.5x^2+x=lnC
再将x=1,y=0代入上式，得到C=e^0.5,最后还是
y*x^2-0.5x^2+x=0.5
所以，只要最后是个常数C就行了，不管你是lnC,还是其他的
再问： 哦哦，所以如果我写lnC，C=e^0.5， 也是对的？也算正确答案？
再答： 是的，他是一个不确定的常数，随便你怎么表示
再问： 还有，那个书上有个一介微分的通解的公式：很长很长的，如果您知道，我就不打出来了，那个公式通用吗？我可不可以直接用那个....
再答： 可以。要记得通解公式
d(lnu)/lnu=dx/x
两边同时积分
lnu=lnx+C
就是常数
再问： 那应该是C啊，怎么会是lnC呢
再答： lnC和C一样的
我C可以等于ln(e^C),也可以等于lnC
再问： 哦，所以以后遇到ln的式子，直接是lnC吗？不是C对吧
再答： 写什么都可以，C代表一类常数，你求通解，随便怎么写都可以
一般还要求特解，就能求出C的值
再问： 但是我要写C的话那么最后的答案就是e^C，而写lnC的话，答案就是C了，这两个不一样啊
再答： 这么写吧
lnu=lnx+C1
最后是e^C1=C2
C是不确定的常数，怎么写都对的
再问： 那如果是特解的话C怎么写呢
再答： 特解能解出C的具体值。他会告诉你一个方程的
再问： 可以举个例子吗？比如“
x²dy+(2xy-x+1)dx=0满足初始条件y|x=1=0的特解
再答： d(yx^2)-0.5d(x^2)+dx=0
积分，得：y*x^2-0.5x^2+x=C
再将x=1,y=0代入上式，得到C=0.5
y*x^2-0.5x^2+x=0.5
如果y*x^2-0.5x^2+x=lnC
再将x=1,y=0代入上式，得到C=e^0.5,最后还是
y*x^2-0.5x^2+x=0.5
所以，只要最后是个常数C就行了，不管你是lnC,还是其他的
再问： 哦哦，所以如果我写lnC，C=e^0.5， 也是对的？也算正确答案？
再答： 是的，他是一个不确定的常数，随便你怎么表示
再问： 还有，那个书上有个一介微分的通解的公式：很长很长的，如果您知道，我就不打出来了，那个公式通用吗？我可不可以直接用那个....
再答： 可以。要记得通解公式