灵鹊做题网向量概念1
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 17:19:39
对于以上这道题，有如下疑问： 1.不是说向量是矢量不同于标量，必须将向量a，b转化成模|a|,|b|才能进行常规的计算吗？ 那么①中的方法是
，这确实也符合；且③中，因为是标量所以也可直接平方； 但是对于②，是不是一定要a2-b2=0转换成|a|2-|b|2=1，之后再（|a|-|b|)(|a|+|b|)=0才可以得出|a|=±|b|，而不能（a-b）（a+b）=0？可这样的话，最后它要证明的结论是a=±b而不是他们的模|a|=±|b|的关系啊，这样到底是怎么回事儿呢？到底向量可以有怎样的计算法则来计算呢？ 2.对于④，这里又没说他们的夹角分别是多少，那一旦|a||b|cosα=|a||c|cosβ处理后，之后该怎么办呢？ 类似的题目中， 
3.对于①，将|a+b|=|b|平方后，整理得到a2+2ab+b2=b2,因为b2=|b|2所以可将|b|2消去（若是没有|b|的存在，而是等号左右是向量b的话，还能消去吗？），为什么剩下的部分还可以提取公因式变成a（a+b）呢？不是说只有模才可以的吗？为什么向量的计算中不能用均值不等式或者是通过完全平方式来求最值，却可以用提取公因式呢？ 4.对于②，我将这三条“边长”的值都平方，之后想看看这三个元素能否符合A2+B2=C2的格式，可发现算出来是|a+2b|2=a2+4ab+b2,感觉|a|2+|b|2≠|a|2+4ab+|b|2,因为毕竟还有一个4ab。可我没想到这个4ab还是可以从①结论中的关系式里消去的，那么这道题的选项就会选错了，这样的问题应该如何解决呢？ 谢谢老师！
解题思路： 从你的疑问中看出，你对向量数量积的定义理解得还不到位 . 其中，实数中的结论（比如基本不等式法iu最值，等）能否在向量中使用，关键就看你是否已经把向量转化为实数，例如，“向量的模”就可以使用基本不等式啊.
解题过程：
对于以上这道题，有如下疑问： 1.不是说向量是矢量不同于标量，必须将向量a，b转化成模|a|,|b|才能进行常规的计算吗？ 那么①中的方法是
，这确实也符合；且③中，因为是标量所以也可直接平方； 但是对于②，是不是一定要a2-b2=0转换成|a|2-|b|2=1，之后再（|a|-|b|)(|a|+|b|)=0才可以得出|a|=±|b|，而不能（a-b）（a+b）=0？可这样的话，最后它要证明的结论是a=±b而不是他们的模|a|=±|b|的关系啊，这样到底是怎么回事儿呢？到底向量可以有怎样的计算法则来计算呢？ ———解析：由 
，化为 
， 即
， 得出 
，∵ 模是非负数， ∴ 只有 
，是正确的！ 由 ，化为 
， 也是正确的，但是，你若进一步得到“
”或“
”，那就是错的了. 因为，两个向量的数量积为零，并不能得到其中有“零向量”（当然，当两个向量中有零向量时，它们的数量积一定为零；但是，当两个向量都是非零向量时，只要两个向量的夹角为90°，那么，它们的数量积也等于零） 向量数量积的定义：
，其中，θ是两向量
的夹角. 按照此定义，
， 即 
， 那么，
成立吗？ 在什么条件下成立？ 2.对于④，这里又没说他们的夹角分别是多少，那一旦|a||b|cosα=|a||c|cosβ处理后，之后该怎么办呢？ ————解析：
， 
， 
， 
或 
， 故 仅仅得到“
”是错误的 . 若用定义，， 
， 
, 则得到的结论是 
， 其中，后者的意义是“向量
在向量
方向上的投影相等”， 
这与 是等价的（其中也包含
的可能） 类似的题目中， 
3.对于①，将|a+b|=|b|平方后，整理得到a2+2ab+b2=b2,因为b2=|b|2所以可将|b|2消去（若是没有|b|的存在，而是等号左右是向量b的话，还能消去吗？），为什么剩下的部分还可以提取公因式变成a（a+b）呢？不是说只有模才可以的吗？为什么向量的计算中不能用均值不等式或者是通过完全平方式来求最值，却可以用提取公因式呢？ ————解析：由 
， 两边平方得 
， 即 
， 即 
， 即 
， 即 
， 若非零向量共线， 则
的夹角为0或π， 余弦值为1或－1， ∴ 只能有 
， 故 
， ∴ 
， 向量的数量积满足交换律：
； 分配律 
. 4.对于②，我将这三条“边长”的值都平方，之后想看看这三个元素能否符合A2+B2=C2的格式，可发现算出来是|a+2b|2=a2+4ab+b2,感觉|a|2+|b|2≠|a|2+4ab+|b|2,因为毕竟还有一个4ab。可我没想到这个4ab还是可以从①结论中的关系式里消去的，那么这道题的选项就会选错了，这样的问题应该如何解决呢？ ————解析：由 ， 两边平方得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， ∴ 
， 设 
， 则 OM⊥ON，故 △MON是直角三角形， 其中，
， 而 
， ∴ 
， 这就是说，以 
，
为三边长的三角形是直角三角形. 按照你说的方法，也是可以的： 因为 
，
， 其中，
. 所以，构成的是以为斜边的直角三角形. “这个4ab还是可以从①结论中的关系式里消去的” 这是错的，②与①是两个无关的题目.
最终答案：
解题过程：
对于以上这道题，有如下疑问： 1.不是说向量是矢量不同于标量，必须将向量a，b转化成模|a|,|b|才能进行常规的计算吗？ 那么①中的方法是，这确实也符合；且③中，因为是标量所以也可直接平方； 但是对于②，是不是一定要a2-b2=0转换成|a|2-|b|2=1，之后再（|a|-|b|)(|a|+|b|)=0才可以得出|a|=±|b|，而不能（a-b）（a+b）=0？可这样的话，最后它要证明的结论是a=±b而不是他们的模|a|=±|b|的关系啊，这样到底是怎么回事儿呢？到底向量可以有怎样的计算法则来计算呢？ ———解析：由 ，化为 ， 即， 得出 ，∵ 模是非负数， ∴ 只有 ，是正确的！ 由 ，化为 ， 也是正确的，但是，你若进一步得到“”或“”，那就是错的了. 因为，两个向量的数量积为零，并不能得到其中有“零向量”（当然，当两个向量中有零向量时，它们的数量积一定为零；但是，当两个向量都是非零向量时，只要两个向量的夹角为90°，那么，它们的数量积也等于零） 向量数量积的定义：，其中，θ是两向量的夹角. 按照此定义，， 即 ， 那么，成立吗？ 在什么条件下成立？ 2.对于④，这里又没说他们的夹角分别是多少，那一旦|a||b|cosα=|a||c|cosβ处理后，之后该怎么办呢？ ————解析：， ， ， 或 ， 故 仅仅得到“”是错误的 . 若用定义，， ， , 则得到的结论是 ， 其中，后者的意义是“向量在向量方向上的投影相等”， 这与 是等价的（其中也包含的可能） 类似的题目中， 3.对于①，将|a+b|=|b|平方后，整理得到a2+2ab+b2=b2,因为b2=|b|2所以可将|b|2消去（若是没有|b|的存在，而是等号左右是向量b的话，还能消去吗？），为什么剩下的部分还可以提取公因式变成a（a+b）呢？不是说只有模才可以的吗？为什么向量的计算中不能用均值不等式或者是通过完全平方式来求最值，却可以用提取公因式呢？ ————解析：由 ， 两边平方得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 若非零向量共线， 则的夹角为0或π， 余弦值为1或－1， ∴ 只能有 ， 故 ， ∴ ， 向量的数量积满足交换律：； 分配律 . 4.对于②，我将这三条“边长”的值都平方，之后想看看这三个元素能否符合A2+B2=C2的格式，可发现算出来是|a+2b|2=a2+4ab+b2,感觉|a|2+|b|2≠|a|2+4ab+|b|2,因为毕竟还有一个4ab。可我没想到这个4ab还是可以从①结论中的关系式里消去的，那么这道题的选项就会选错了，这样的问题应该如何解决呢？ ————解析：由 ， 两边平方得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， ∴ ， 设 ， 则 OM⊥ON，故 △MON是直角三角形， 其中，， 而 ， ∴ ， 这就是说，以 ， 为三边长的三角形是直角三角形. 按照你说的方法，也是可以的： 因为 ，， 其中，. 所以，构成的是以为斜边的直角三角形. “这个4ab还是可以从①结论中的关系式里消去的” 这是错的，②与①是两个无关的题目. 最终答案：