灵鹊做题网球(球的性质)
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 18:04:21
将4个半径为1的钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的 高的最小值为多少？ 请老师回答详细点
解题思路： 1、做图2、据图解答
解题过程：
解法１：把４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，点Ｏ是底面△Ｏ２Ｏ３Ｏ４的中心，Ｅ，Ｆ分别是Ｏ３Ｏ４和ＢＣ的中点，过Ｏ作ＯＬ⊥ＡＦ于Ｌ，交Ｏ１Ｅ于Ｈ.
因正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４的高为
，sin∠OO1E=
又因正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４是正四面体ＡＢＣＤ向内收缩一个小球半径长得到的（如图１），所以ＯＬ＝ＯＨ＋ＨＬ＝
＋１.因sin∠OAL=
，故ＯＡ＝３×（＋１）＝ ＋３.所以正四面体ＡＢＣＤ的高为４＋
.
解法２：４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，可以看成正四面体ＡＢＣＤ向内收缩一个小球半径长得到（如图２）.设正四面体ＡＢＣＤ的高为h，由于两个正四面体相似，因此内切球的半径之比等于对应高之比，即
得h=4+
最终答案：略
解题过程：
解法１：把４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，点Ｏ是底面△Ｏ２Ｏ３Ｏ４的中心，Ｅ，Ｆ分别是Ｏ３Ｏ４和ＢＣ的中点，过Ｏ作ＯＬ⊥ＡＦ于Ｌ，交Ｏ１Ｅ于Ｈ.
因正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４的高为
，sin∠OO1E=又因正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４是正四面体ＡＢＣＤ向内收缩一个小球半径长得到的（如图１），所以ＯＬ＝ＯＨ＋ＨＬ＝
＋１.因sin∠OAL=，故ＯＡ＝３×（＋１）＝ ＋３.所以正四面体ＡＢＣＤ的高为４＋.解法２：４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，可以看成正四面体ＡＢＣＤ向内收缩一个小球半径长得到（如图２）.设正四面体ＡＢＣＤ的高为h，由于两个正四面体相似，因此内切球的半径之比等于对应高之比，即
得h=4+
最终答案：略