灵鹊做题网代数求证题a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/05 16:16:47
代数求证题
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d
应该加上a,b,c,d都大于0,否则不成立
如a=b=1,c=d=-1
也能得到a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
解法一
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
解法二
由均值不等式
a^4+b^4+c^4+d^4>=4(a^4*b^4*c^4*d^4)的四次方根=4abcd
当a=b=c=d时取等号
此处已知取等号
所以a=b=c=d
如a=b=1,c=d=-1
也能得到a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
解法一
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2=-2(ab-cd)^2
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
平方相加等于0,所以每一个平方都等于0
(a^2-b^2)^2=(c^2-d^2)^2=(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=c^2-d^2=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a^2=b^2,所以a=b
c^2=d^2,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b^2=d^2,b=d
所以a=b=c=d
解法二
由均值不等式
a^4+b^4+c^4+d^4>=4(a^4*b^4*c^4*d^4)的四次方根=4abcd
当a=b=c=d时取等号
此处已知取等号
所以a=b=c=d
初中代数习题a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d （a b c d均为有理数）
已知a,b,c,d∈R*求证:a^4+b^4+c^4+d^4>=4abcd
代数证明题2道1.已知：A,B,C,D为正有理数,且满足A的四此方+B的四次方+C的四次方+D的四次方=4ABCD.求证
已知a4+b4+c4+d4=4abcd求证a=b=c=d
已知a,b,c,d,都是正数,求证（ab+cd)*(ac+bd)>=4abcd
已知abcd均为正数,求证:a+b+c+d/4>=4次方跟下abcd
若abcd是不相等的整数,且整数x不满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9,求证4整除(a+b+c+d)
已知a,b,c,d属于R+,且a+b+c+d=1,求证a^2+b^2+c^2+d^2>=1/4
已知a:b=c:d,求证(a+c):(a-c)=(b+d):(b-d)
已知a,b,c,d为正有理数,且满足a的4次方+b的4次方+c的4次方+d的4次方=4abcd.求证：a=b=c=d
八下较难数学代数题已知一个四边形四边满足a四次方+b的四次方+c的四次方+d的四次方=4abcd 求证这个四边形是菱形（
abcd为实数,a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,求证：-1/4