灵鹊做题网于直角三角形有关的
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 23:43:05
在直角三角形中ABC中，角A等于90度，BC=4，有一个内角为90度点P是直线AB上不同于A、B的一点，且角ACP=30度，则BP的长为多少。
解题思路： 分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况：（i）P在A的右边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角，由∠ABC=30°及BC的长，利用锐角三角形函数定义及cos30°的值，即可求出PB的长；当P在A的左边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠ACB-∠ACP求出∠PCB为30°，得到∠PCB=∠ABC，利用等角对等边得到PC=PB，由BC及∠ABC=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，由AB-BP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于PB的方程，求出方程的解得到PB的长，综上，得到所有满足题意的PB的长．
解题过程：
解：分两种情况考虑： 当∠ABC=60°时，如图所示：
∵∠CAB=90°， ∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°， ∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°， ∴△PCB为等边三角形，又BC=4， ∴PB=4； 当∠ABC=30°时，如图所示：
（i）当P在A的左边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠PCB=90°， 又∠B=30°，BC=4， ∴cosB=BC/PB，即cos30°=4/PB， 解得：PB=4/（√3 / 2）=（8√3）/3； （ii）当P在A的右边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠BCP=30°，又∠B=30°， ∴∠BCP=∠B， ∴CP=BP， 在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4， ∴AC=1/2BC=2， 根据勾股定理得：√AB=√（BC²-AC²）=2√3， ∴AP=AB-PB=2√3-PB， 在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²， ∴2²+（2√3-BP）²=BP²， 解得：BP=（4√3）/3， 综上，BP的长分别为4或4√3/3或8√3/3． 故答案为：4或（4√3）/3或（8√3）/3
解题过程：
解：分两种情况考虑： 当∠ABC=60°时，如图所示：
∵∠CAB=90°， ∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°， ∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°， ∴△PCB为等边三角形，又BC=4， ∴PB=4； 当∠ABC=30°时，如图所示：
（i）当P在A的左边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠PCB=90°， 又∠B=30°，BC=4， ∴cosB=BC/PB，即cos30°=4/PB， 解得：PB=4/（√3 / 2）=（8√3）/3； （ii）当P在A的右边时，如图所示： ∵∠PCA=30°，∠ACB=60°， ∴∠BCP=30°，又∠B=30°， ∴∠BCP=∠B， ∴CP=BP， 在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4， ∴AC=1/2BC=2， 根据勾股定理得：√AB=√（BC²-AC²）=2√3， ∴AP=AB-PB=2√3-PB， 在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²， ∴2²+（2√3-BP）²=BP²， 解得：BP=（4√3）/3， 综上，BP的长分别为4或4√3/3或8√3/3． 故答案为：4或（4√3）/3或（8√3）/3