灵鹊做题网大一"线性代数"的问题：
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 05:20:59
大一"线性代数"的问题：
已知A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,-1,0,其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及（a,a+1,1)T,求矩阵A
已知A是3阶实对称矩阵,A的特征值为1,-1,0,其中λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及（a,a+1,1)T,求矩阵A
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
所以有 a+a(a+1)+1=0,即 (a+1)^2=0
所以 a=-1.
所以λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,-1,1)T及(-1,0,1)T
设A的属于特征值-1的特征向量为 (x1,x2,x3)^T
则 x1-x2+x3=0
-x1 +x3=0
得 (1,2,1)^T
令 P=
1 -1 1
-1 0 2
1 1 1
则 P^-1AP=diag(1,0,-1)
所以 A=Pdiag(1,0,1)P^-1 =
1/2 0 1/2
0 1 0
1/2 0 1/2
所以有 a+a(a+1)+1=0,即 (a+1)^2=0
所以 a=-1.
所以λ=1和λ=0所对应的特征向量分别为(1,-1,1)T及(-1,0,1)T
设A的属于特征值-1的特征向量为 (x1,x2,x3)^T
则 x1-x2+x3=0
-x1 +x3=0
得 (1,2,1)^T
令 P=
1 -1 1
-1 0 2
1 1 1
则 P^-1AP=diag(1,0,-1)
所以 A=Pdiag(1,0,1)P^-1 =
1/2 0 1/2
0 1 0
1/2 0 1/2