（2014•重庆）中考题

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/24 09:42:35

（2014•重庆）中考题
（2014•重庆）如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E．在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．

证明：（1）∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵FC⊥BC,
∴∠BCF=90°,
∴∠ACF=90°-45°=45°,
∴∠B=∠ACF,
∵∠BAC=90°,FA⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,
∠CAF+∠CAE=90°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
∠BAE＝∠CAF
AB＝AC
∠B＝∠ACF
,
∴△ABE≌△ACF（ASA）,
∴BE=CF；
（2）①如图,过点E作EH⊥AB于H,则△BEH是等腰直角三角形,
∴HE=BH,∠BEH=45°,
∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DE=HE,
∴DE=BH=HE,
∵BM=2DE,
∴HE=HM,
∴△HEM是等腰直角三角形,
∴∠MEH=45°,
∴∠BEM=45°+45°=90°,
∴ME⊥BC；
②由题意得,∠CAE=45°+
1
2
×45°=67.5°,
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠CAE=∠CEA=67.5°,
∴AC=CE,
在Rt△ACM和Rt△ECM中
,
CM＝CM
AC＝CE
,
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）,
∴∠ACM=∠ECM=
1
2
×45°=22.5°,
又∵∠DAE=
1
2
×45°=22.5°,
∴∠DAE=∠ECM,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=CD=
1
2
BC,
在△ADE和△CDN中,
∠DAE＝∠ECM
AD＝CD
∠ADE＝∠CDN
,
∴△ADE≌△CDN（ASA）,
∴DE=DN．

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