关于”平面内所有过原点的直线的集合“这一问题.

关于”平面内所有过原点的直线的集合“这一问题.
一种标准答案是{(x,y)|ax=by且x,y不同时为零}.我觉得答案可以是{（x,y）|x,y属于实数},我问了一下老师,老师说这样无法表示出“过原点的直线”,可以是所有直线、曲线等.但我觉得假设可以用列举法表示,我的答案和标准答案的集合内所有的元素都是相同的,是不是可以算作是相等的呢?
我还想到了另一个问题,若要表示平面内所有直线与x轴交点的集合,按照答案的思维应该是{（x,y）|y=ax+b或x=m且y=0}(另外问一句,如果同时出现“或”和“且”怎么表示前两个条件是或的关系而前两个条件和第三个条件是且的关系才能不产生误解),而不能写成{（x,y）|y=0且x属于实数},这样说对吗?

1、这个标准答案本身就有问题.
题目所说的是“……的直线的集合”,因此,该集合中的每个元素,都应该是【直线】,而不是【点】.“标准答案”和你的答案,所表示的都是点的集合.
虽然它们最终“所表示的点”确实是相同的,但意义不同.这就好比是,用一些砖头垒了一堵墙.你说“这些砖头构成的集合”和“这堵墙构成的集合”是一回事儿吗?正确的写法应该是：
{ ax = by | a,b∈R且不同时为零}；（标准答案的思路没问题,只是表示的方法不对）
相信你也知道：二元一次方程 ax + by + c = 0,可以表示平面内的任意直线.当常数项 c = 0 时,表示的就是【过原点的直线】.所以,我们要限定的应该是方程的系数 a、b,而不是 x、y.另外,这里所说的【二元方程】,还有更一般的表示方法：
f(x,y) = 0；（注：f(x,y) 所表示的就是含 x、y 的表达式）
所以,本题这个集合也有其他的表示方法：
{ f(x,y) = 0 | f(x,y) = ax + by；a,b∈R且不同时为零}；
不只是你,很多人都会把本题所说的集合误写成点集,这其实是有原因的：我们都知道,一条直线、一条曲线、一个平面图形、一个平面区域乃至整个平面,都可以表示一个【点集】.但你要明白这个逻辑关系：
【图形】 ↔ 【点集】；
【图形】的集合 ↔ 【点集】的集合；
显然,【点集的集合】,也就不再是【点集】了!
当然了,如果题目所问的是“……的直线【所过的点】的集合”,那这就是一个点集了,而且就是你所说的{（x,y）|x,y属于实数}这个集合,也就是【整个平面】对应的点集.
2、搞明白了上面这道题,你的第 2 个问题就很简单了：
所有直线与 X 轴的交点,其实就是 X 轴上的点；这些点的集合也就是 X 轴本身——这是一个货真价实的【点集】.所以,你说的两种写法“在思路上”都对.存在的问题,就是你所说的“或”、“且”的用法.
其实,在专业的数学语言中,“或”和“且”都有专门的符号表示,而它们的组合关系,完全可以用括号精确地表示出来.但如果用文字的话,就不能用括号了,不过通常可以用标点符号进行分割.比如你所说的“前两个条件是或的关系而前两个条件和第三个条件是且的关系”,可以这样描述：
【p 或 q,且 r】；（p、q、r表示你所说的三个条件）
句子中的逗号,就将前两个条件和第三个条件分开了.而且,逗号本身就表示前后两部分是“且”的关系（除非在逗号之后紧跟着使用“或”）,所以,上面的“且”一词可以省略.
当然,在你的问题中,还得考虑对 a、b、m 的限定.规范的写法应该是：
{ (x,y) | y = ax + b 或 x = m, y = 0, a、b、m ∈ R }；
另外,我觉得,你的老师所说的“无法表示出……”这个理由并不是很重要.只要集合的内容正确,完全可以用其他方式表示.所以,你的这两种写完全可以进行简化.上面这种写法,在整理之后,完全可以消掉 a、b.结果就是：
{ (x, y) | x = m, y = 0, m ∈ R}；
或更简单的：
{ (x, 0) | x ∈ R }；
再问： 真是太谢谢了！(最开始的那个“x,y不同时为零”应该是“a,b不同时为零”，希望没影响到你)
再问： 还要麻烦一下，初中见过l：y=ax+b的表示直线的方式，这个表示方法是否规范？这道题是否可以答成{l|l:ay=bx且a,b不同时为零}
再答： 这种【l：y=ax+b】的写法，在表示直线时很常见，是通用的。将其用于集合表示，也很自然，而且更紧凑、更简洁——从道理上讲，是没错的。

唯一可能的问题是，这种写法好像没有明确的规定。举个类似的例子对比一下：
在函数（映射）的定义中，函数被记作【f：A→B】；——A到B的某个函数；
而关于函数的集合，我们可记作：{ f | f：A→B}；——A到B的所有函数构成的集合；
函数的这种记法是明确规定的，所以用于集合没有任何问题。而直线的这种记法通常是这样用的：
“已知直线l：y=ax+b……”、“直线l：y=ax+b与直线m：y=cx+d……”等等；
在这里，l和m只是相应直线（方程）的一个“记号”，我们只是用一个简单的符号代替一个复杂的对象，这是它与函数的表示方法的区别。因此我们恐怕不能将函数的集合表示直接“推广”到方程上。

不过话又说回来，这种表示法确实很实用，也很好理解。我们所缺的，只是一个“很简单、很自然，但又要很明确的”规定。我确实还没在什么书上见过这种集合表示。你可以问一下老师，他应该比咱们见多识广。如果可以的话，那就不只是直线了，各种曲线，甚至各种图形，都可以用这种方法表示它们的集合了。