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有理函数不定积分到底怎么拆 求救QAQ

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 09:38:46
有理函数不定积分到底怎么拆 求救QAQ
 
有理函数不定积分到底怎么拆 求救QAQ
(2x+2) / [(x-1)(x^2+1)^2 ]
= A/(x-1) + (Bx+C)/(x^2+1) + (Dx+E)/(x^2+1)^2
右边通分
分子 = A(x^2+1)^2 + (Bx+C)(x-1)(x^2+1) +(Dx+E)(x-1)
= Ax^4 + 2Ax^2 +A + [ Bx^2 +(C-B)x - C](x^2+1) + Dx^2 +(E-D)x - E
= Ax^4 + 2Ax^2 +A + Bx^4 +(C-B)x^3 +(B-C)x^2 +(C-B)x - C + Dx^2 +(E-D)x - E
= (A+B)x^4 + (C-B)x^3 + (2A+B-C+D)x^2 +(C-B+E-D)x +(A-C-E)
所以
A+B=0
C-B=0
2A+B-C+D=0
C-B+E-D = 2
A-C-E = 2
解得A=1,B=C= -1,D= -2,E=0
故
(2x+2) / [(x-1)(x^2+1)^2 ] = 1/(x-1) - (x+1)/(x^2+1) - 2x / (x^2+1)^2
再分别积分即可
再问： 非常感谢！不过想问下 为啥是那样拆分的！我对这里不理解QAQ
再答： 那是定理！ 不需要知道为什么
再问： 我知道是定理QAQ但是什么情况下拆成什么样我搞不懂。根据分母的次数定吗(´･_･`)
再答： 是 做题多了你就知道规律了 说也说不清楚
再问： ……越多越不清楚
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