在平面直角坐标系中，已知点 A( 1 2 ，0) ，向量 e =(0，1) ，点B为直线 x=- 1 2 上的动点，点C

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 21:59:13

（1）设 M(x，y)，B(-
1
2 ，m) ，则
∵点C满足 2
OC =
OA +
OB ，∴点C是线段AB的中点，可得C（0，
m
2 ）
由此可得：
BM =(x+
1
2 ，y-m) ，
CM =(x，y-
m
2 ) ，
AB =(-1，m)
∵
e =(0，1) ，
BM •
e =0，
CM •
AB =0
∴可得
y-m=0
-x+m(y-
m
2 )=0 ，化简整理得
y=m
x=
m 2
2 ，
消去参数m得y² =2x，所以动点M的轨迹E的方程为y² =2x；…（4分）
（2）设P（x₀ ，y₀ ），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直线的方程为 y=
y 0 -b
x 0 x+b ，整理得l_PR ：（y₀ -b）x-x₀ y+x₀ b=0，
∵圆（x-1）² +y² =1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴
| y 0 -b+ x 0 b|
( y 0 -b) 2 + x 0 2 =1 ，
注意到x₀ ＞2，化简得： ( x 0 -2) b 2 +2 y 0 b- x 0 =0 ，
同理可得： ( x 0 -2) c 2 +2 y 0 c- x 0 =0 ，
因此，b、c是方程 ( x 0 -2) x 2 +2 y 0 x- x 0 =0 的两个不相等的实数根，…（8分）
根据根与系数的关系，化简整理可得 |b-c|=
4 y 0 2 +4 x 0 ( x 0 -2)
| x 0 -2| =
2 x 0
x 0 -2 ，
由此可得△PRN的面积为 S =
1
2 •
2 x 0
x 0 -2 • x 0 =( x 0 -2)+
4
x 0 -2 +4≥8 ，
∴当x₀ -2=
4
x 0 -2 时，即当x₀ =4时，△PRN的面积的最小值为8．…（12分）