基本不等式证明题
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 19:04:15
基本不等式证明题
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/16/7163350903fb0c526f539d14c09cc246.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/16/7163350903fb0c526f539d14c09cc246.jpg)
![基本不等式证明题](/uploads/image/z/19495607-23-7.jpg?t=%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%26nbsp%3B)
(1)依基本不等式得
a^3+1/a≥2√(a^3·1/a)=2a,
b^3+1/b≥2√(b^3·1/b)=2b,
c^3+1/c≥2√(c^3·1/c)=2c.
三式相加,得
a^3+b^3+c^3+(1/a+1/b+1/c)≥2(a+b+c).
(2)3(1+a^2+a^4)≥(1+a+a^2)^2
↔a^4-a^3-a+1≥0
↔(a-1)^2(a^2+a+1)≥0
↔(a-1)^2[(a+1/2)^2+3/4]≥0.
此式显然成立,且以上每一步可逆,
故原不等式成立.
(3)本题证法灰常多,以下用基本不等式
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(1/2)[(a+b)+(1/a+1/b)]^2
=(1/2)[1+(a+b)/a+(a+b)/b]^2
=(1/2)[3+(a/b+b/a)]^2
≥(1/2)[3+2√(a/b·b/a)]^2
=25/2.
故原不等式得证.
a^3+1/a≥2√(a^3·1/a)=2a,
b^3+1/b≥2√(b^3·1/b)=2b,
c^3+1/c≥2√(c^3·1/c)=2c.
三式相加,得
a^3+b^3+c^3+(1/a+1/b+1/c)≥2(a+b+c).
(2)3(1+a^2+a^4)≥(1+a+a^2)^2
↔a^4-a^3-a+1≥0
↔(a-1)^2(a^2+a+1)≥0
↔(a-1)^2[(a+1/2)^2+3/4]≥0.
此式显然成立,且以上每一步可逆,
故原不等式成立.
(3)本题证法灰常多,以下用基本不等式
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(1/2)[(a+b)+(1/a+1/b)]^2
=(1/2)[1+(a+b)/a+(a+b)/b]^2
=(1/2)[3+(a/b+b/a)]^2
≥(1/2)[3+2√(a/b·b/a)]^2
=25/2.
故原不等式得证.