正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 21:43:54

正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F
（1）当点P与点O重合时（如图①）,猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②）,探究（1）中的结论是否成立?若成立,写出证明过程；若不成立,请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断（1）中的结论是否成立?若成立,直接写出结论；若不成立,请写出相应的结

（1）AP=EF,AP⊥EF,理由如下：
连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,
∴四边形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE,
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立,理由如下：
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE,
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图,延长AB交PF于H,证法与（2）完全相同．

正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P为对角线AC上一动点,过点P作PF⊥DC于点F.如图1,当点P与点O重合时, 在正方形ABCD中,其对角线AC、BD交于点O,点P为AB边上的动点PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,M为AD中点,连接O 初三证明题：如图,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P为对角线AC上一动点,过点P做PF⊥DC于F,如图1, 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,P是BC上的一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F.PE＝PF 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥PB,交直线CD于点E,如图1,当点P与已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交点O,点P是直线AB上一点,PE⊥BD交直线BD于点E,PF⊥AC交直线AC于点正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F,如图1,当点P与点O重合时, 如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一个动点,PE⊥MC于点E,PF⊥BM于点F. 如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是边AD上的动点,PE⊥于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF的值为如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,请猜想EF与PD的数量关系,并说明理已知矩形ABCD,对角线AC,BD交于点O,点P是PD的中点.PE⊥AD于E.PF⊥BD于F,AB＝3,BC=4 已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.