无穷级数 1/n 为何是发散的?无穷级数1/（n^2）和(1/n^3)又为何是收敛的?最好用图像作逻辑判断

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 04:09:15

无穷级数 1/n 为何是发散的?无穷级数1/（n^2）和(1/n^3)又为何是收敛的?最好用图像作逻辑判断
无穷级数 1/n 是因为其SIGMA值随n值增大而不断累加,而且无极限,所以为发散的吗?
那1/（n^2）和(1/n^3)不也一样吗?为何又是收敛的呢?

调和级数的证明比较抽象：
如果假设∑1/n收敛,记部份和为Sn,且设lim(n→∞)Sn=s
於是有lim(n→∞)S(2n)=s,有lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0
但是S(2n)-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2,与lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0矛盾
所以调和级数∑1/n是发散的
又讨论P-级数∑1/(n^p)的敛散性.
（1）当p≤1时,因为n^p≤n,而调和级数∑1/n是发散的,根据比较审敛法知当01时,对於任意实数x,当n-1≤x1≤n,有1/n^p≤1/x^p
1/n^p=∫1/n^p dx((n-1)~n)
≤∫1/x^p dx((n-1)~n)
=1/(p-1)[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)] (n=2,3,4.)
考虑级数∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)],其部份和Sn=1-1/n^(p-1)
又有lim(n→∞)Sn=1,所以∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]收敛,根据比较审敛法,当p>1时,∑1/(n^p)收敛

判断级数收敛发散判断级数是绝对收敛,条件收敛还是发散（下边 n=1 上边是无穷）∑(-1）^n* ln n/(n^p) 判断无穷级数的收敛性判断级数∑cosnα/n(n+1) 是否收敛?如果收敛是绝对收敛还是相对收敛? 高数,无穷级数敛散性1/n㏑n 收敛还是发散的,为什么? 1/（n ln(n+1)）(n=1到无穷求和) 这个级数是收敛的还是发散的,怎么证明判断此级数的敛散性：（n1-无穷）（-1）的n次方*根号下（n-根号n）-根号n 答案是发散.具体如何判断! 级数1/n+1是收敛的还是发散的? 很简单的级数问题,级数（那个符号）1/5n是收敛还是发散级数是发散还是收敛,要过程.∑【n从1到无穷】(1+1/n)^n 和∑【n从1到无穷】ntanπ/[2^(n+1)] 若级数(2^n)(a^n) 收敛,n从1到无穷.则a的取值范围是? 判别下列级数的敛散性,请说明是绝对收敛还是条件收敛求和（n=1到无穷）（-1）^(n-1)*n!/n^n 求判断无穷级数收敛性（绝对或条件收敛）∑ (-1^n) * sin(2/n) 判断级数∑1/n*2^n/[3^n+(-2)^n]的敛散性,（n=1到无穷）