灵鹊做题网数学几何体练习高一必修2
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 12:43:10
数学几何体练习高一必修2
在立体几何中：凌长为a的正四面体内有一点P,P到四个面的距离之和等于凌长的m倍（m为常数）.试判断这个结论是否正确?若正确,请求出m的值.
在立体几何中：凌长为a的正四面体内有一点P,P到四个面的距离之和等于凌长的m倍（m为常数）.试判断这个结论是否正确?若正确,请求出m的值.
m=√6/3
设O为四面体S-ABC内的垂足,分别过A、B、C三顶点作AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB
则,AD=BE=CF=a√3/2
∵ O是等边ΔABC的垂心,S-ABC是正四面体
AB⊥平面SOF,BC⊥平面SOD,CA⊥平面SOE
RtΔSOD≌RtΔSOE≌RtΔSOF
∴ O到每个RtΔ斜边SD、SE、SF的距离相等,对应高的直线段分别为OG、OH、OI
并令OG=OH=OI=Ho,SO=H
P到四个面的距离之和设为∑H,通过计算可知：
Ho=a√6/9,H=a√6/3
下面开始证明∑H=a√6/3,m=√6/3=常数
由上面的计算基础,证明分三步：1.P在O点时的∑H
2.P只在SO上移动时的∑H
3.P只在平面ABC内移动时的∑H
4.P在正四面体内任意位置时的∑H
1.P在O点时的∑H
显然,∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
2.P只在SO上移动时的∑H,设PO=ΔH
P到ABC的距离=ΔH,P到平面SAB的距离设为H1,P到平面SAC的距离设为H2,P到平面SBC的距离设为H3
根据三角形相似可以得到,H1:Ho=(H-ΔH)H,H2:Ho=(H-ΔH)H
H3:Ho=(H-ΔH)H,∑H=ΔH+H1+H2+H3
∑H=Ho(1-ΔH/H)+Ho(1-ΔH/H)+Ho(1-ΔH/H)+ΔH
=3Ho-(3HoΔH-ΔH*H)/H
∵ H=a√6/3=3Ho
∴ (3HoΔH-ΔH*H)/H=0
∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
3.P只在平面ABC内移动时的∑H
3.1 只在等边ΔABC的一条高线上移动时
这一步主要是画图,在此仅作说明
过P点分别作OG、OH、OI的平行线（设P在AD上的AO之间,PO=Δh）PJ、PK、PL
则PJΔASD内.PK、PL则分别在ΔAHO、ΔAOI内.据相似三角形可得到：
PJ:Ho=OD:DP=(AD/3+Δh) :(AD/3)
PK:Ho=AP:AO=(2AD/3-Δh) :(2AD/3)
PL:Ho=AP:AO=(2AD/3-Δh) :(2AD/3)
∑H=PJ+PK+PL=Ho(3+3Δh/AD-3Δh/2AD-3Δh/2AD)=3Ho
∴ ∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
3.2 P在平面ABC内的任意一点,根据3.1的证明过程,都可以通过2次平移,做OG、OH、OI的平行线,再根据相似推导出∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立.
4.P在正四面体内任意位置时的∑H
据上述推到,对于正四面体S-ABC内的任意一点P,我们都可以先通过SO方向的平移、再通过在平行于ABC的平面内的平移来证明出
∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
综上所述,P到四个面的距离之和恒等于凌长的√6/3倍.
结后语：限于高中知识,本来是可以在三维坐标下用向量（x,y,z）来证明的,实际上是把上述推导过程化成x,y,z对应成比例,按照比例最终可推导出∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数
设O为四面体S-ABC内的垂足,分别过A、B、C三顶点作AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB
则,AD=BE=CF=a√3/2
∵ O是等边ΔABC的垂心,S-ABC是正四面体
AB⊥平面SOF,BC⊥平面SOD,CA⊥平面SOE
RtΔSOD≌RtΔSOE≌RtΔSOF
∴ O到每个RtΔ斜边SD、SE、SF的距离相等,对应高的直线段分别为OG、OH、OI
并令OG=OH=OI=Ho,SO=H
P到四个面的距离之和设为∑H,通过计算可知：
Ho=a√6/9,H=a√6/3
下面开始证明∑H=a√6/3,m=√6/3=常数
由上面的计算基础,证明分三步：1.P在O点时的∑H
2.P只在SO上移动时的∑H
3.P只在平面ABC内移动时的∑H
4.P在正四面体内任意位置时的∑H
1.P在O点时的∑H
显然,∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
2.P只在SO上移动时的∑H,设PO=ΔH
P到ABC的距离=ΔH,P到平面SAB的距离设为H1,P到平面SAC的距离设为H2,P到平面SBC的距离设为H3
根据三角形相似可以得到,H1:Ho=(H-ΔH)H,H2:Ho=(H-ΔH)H
H3:Ho=(H-ΔH)H,∑H=ΔH+H1+H2+H3
∑H=Ho(1-ΔH/H)+Ho(1-ΔH/H)+Ho(1-ΔH/H)+ΔH
=3Ho-(3HoΔH-ΔH*H)/H
∵ H=a√6/3=3Ho
∴ (3HoΔH-ΔH*H)/H=0
∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
3.P只在平面ABC内移动时的∑H
3.1 只在等边ΔABC的一条高线上移动时
这一步主要是画图,在此仅作说明
过P点分别作OG、OH、OI的平行线（设P在AD上的AO之间,PO=Δh）PJ、PK、PL
则PJΔASD内.PK、PL则分别在ΔAHO、ΔAOI内.据相似三角形可得到：
PJ:Ho=OD:DP=(AD/3+Δh) :(AD/3)
PK:Ho=AP:AO=(2AD/3-Δh) :(2AD/3)
PL:Ho=AP:AO=(2AD/3-Δh) :(2AD/3)
∑H=PJ+PK+PL=Ho(3+3Δh/AD-3Δh/2AD-3Δh/2AD)=3Ho
∴ ∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
3.2 P在平面ABC内的任意一点,根据3.1的证明过程,都可以通过2次平移,做OG、OH、OI的平行线,再根据相似推导出∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立.
4.P在正四面体内任意位置时的∑H
据上述推到,对于正四面体S-ABC内的任意一点P,我们都可以先通过SO方向的平移、再通过在平行于ABC的平面内的平移来证明出
∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数成立
综上所述,P到四个面的距离之和恒等于凌长的√6/3倍.
结后语：限于高中知识,本来是可以在三维坐标下用向量（x,y,z）来证明的,实际上是把上述推导过程化成x,y,z对应成比例,按照比例最终可推导出∑H=3Ho=a√6/3,m=√6/3=常数