X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:43:49

设圆x²+y²+4x-2y-20=0的圆心为Q,所求的两个切点为A,B,PQ交AB于M
x²+y²+4x-2y-20=0得(x+2)²+(y-1)²=5²
该圆的圆心坐标为Q(-2,1),半径为5
点Q(-2,1)与点P(3,-9)所在直线的方程PQ为y=-2x-3,斜率为-2
|PQ|=√[(3+2)²+(-9-1)²]=5√5
|PA|=|PB|=√(|PQ|²-|QA|²)=√[(5√5)²-5²]=10
设y=-2x-3的倾斜角为α,则有tanα=-2
由平面几何知识易知PQ垂直平分|AB|
AB斜率为tan(π/2+α)=-cotα=1/2
设AB的方程为y=x/2+b
|PA|•|QA|=|PQ|•|MA|
得|MA|=|PA|•|QA|/|PQ|=10•5/5√5=2√5
由射影定理易知|QM|=√5,|PM|=4√5
设M(m,-2m-3),m∈(-2,3)
|QM|²=(m+2)²+(-2m-3-1)²=5
m²+4m+3=0
(m+1)(m+3)=0
得m=-1
M(-1,-1)
代入AB:y=x/2+b得b=-1/2
AB:y=x/2-3/2
代入x²+y²+4x-2y-20=0得
x²+(x/2-1/2)²+4x-2(x/2-1/2)-20=0
x²+2x-15=0
(x+5)(x-3)=0
x1=-5,x2=3
y1=-5/2-1/2=-3,y2=3/2-1/2=1
A(-5,-3),B(3,1)
切线PA:y=-3x/4-27/4
切线PB:x=3
与圆相切的直线方程为y=-3x/4-27/4和x=3
其实没有必要那么复杂,用判别式等于0解更是有一个高次方程.
求出圆心坐标和半径就很简单
圆心坐标(-2,1),半径5
P(3,-9)
那么有一条切线就是x=3,倾斜角为π/2
设x=3与y=-2x-3的夹角为α,由平面几何知识易知x=3与另一条切线的夹角为2α
tanα=5/|1-(-9)|=1/2
tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(2•1/2)/[1-(1/2)²]=4/3
该切线与x轴的夹角即倾斜角为π/2+2α
斜率tan(π/2+2α)=-cot2α=-1/tan2α=-3/4
经过点(3,-9)得方程y=-3x/4-27/4

已知圆的方程为X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程．圆过点（1,2）,圆心在x轴上,并且与直线3x＋4y－2＝0相切,求圆的方程设圆心C经过点A(2.-1)和直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上,求圆C的方程.设点P(－3.0).直线l过. 已知圆与y轴相切,圆心在直线x－3y＝0,且这个圆经过点6,1求该圆的方程求经过点（-3,4）且与圆x^2+y^2=25相切的直线方程已知圆的方程是X^+Y^-2X-4Y+1=0,求经过点A(-3,0)且与圆相切的直线方程过点（1,3）的直线与圆（x－2）²＋y²＝1相切,求直线的方程. 求过点P（2,3）且与圆x^2+y^2=4相切的直线方程求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程 1.求经过P（0,-1）与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的方程 1一个圆经过P(2,-1)点,且与直线x－y=1相切,圆心在直线y=－2x上.求圆的方程. 1 求过点p(1,2)且在x轴,y轴截距相等的直线方程.2.以知圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0,且这个圆经过点a(