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(1)结论:自变量取x 1 ,x 2 时函数值相等.证明:∵M(x

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 23:17:08
(1)结论:自变量取x 1 ,x 2 时函数值相等.证明:∵M(x
(1)结论:自变量取x 1 ,x 2 时函数值相等.
证明:∵M(x 1 ,y 1 ),N(x 2 ,y 2 )为抛物线y=ax 2 +bx+c上不同的两点,
由题意得
y 1 =a x 1 2 +b x 1 +c  ①
y 2 =a x 2 2 +b x 2 +c  ② 且x 1 ≠x 2
①-②,得y 1 -y 2 =a(x 1 2 -x 2 2 )+b(x 1 -x 2 )=(x 1 -x 2 )[a(x 1 +x 2 )+b].
∵直线 x=
x 1 + x 2
2 是抛物线y=ax 2 +bx+c(a≠0)的对称轴,
∴ x=
x 1 + x 2
2 =-
b
2a .
∴ x 1 + x 2 =-
b
a .
∴y 1 -y 2 =(x 1 -x 2 )[a(x 1 +x 2 )+b]=0,即y 1 =y 2

(2)∵二次函数y=x 2 +bx-1当x=4时的函数值与x=2007时的函数值相等,
∴由阅读材料可知二次函数y=x 2 +bx-1的对称轴为直线 x=
2011
2 .
∴ -
b
2 =
2011
2 ,b=-2011.
∴二次函数的解析式为y=x 2 -2011x-1.

2011
2 =
2012+(-1)
2 ,
由(1)知,当x=2012的函数值与x=-1时的函数值相等.
∵当x=-1时的函数值为(-1) 2 -2011×(-1)-1=2011,
∴当x=2012时的函数值为2011.