灵鹊做题网初中数学-几何-直角三角形
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 16:25:52
初中数学-几何-直角三角形
直角三角形ABC，B为直角顶点，D是AC的中点，E、F是BC、AB上任意一点，AC的长与三角形DEF的周长是否相等？若不相等谁长一些？
注意：极限法、特殊化大家都推过了。
直角三角形ABC，B为直角顶点，D是AC的中点，E、F是BC、AB上任意一点，AC的长与三角形DEF的周长是否相等？若不相等谁长一些？
注意：极限法、特殊化大家都推过了。
肯定是DEF大于AC.具体论证过程下班给你,主要是用三角形两边之和第三条边这个定理.
补充证明过：图片传不上来,所以只能用文字说明,可以自己对照着画图看看.
根据EF的位置可以分为几种情况.设M是BC的中点,N是AB的中点.
1、当E,F分别与M,N重合时,则可以得出,EF=AC/2,因为DE+DF>EF,所以DEF的周长>AC.
2、当E在MC上,且F与N重合时,则可以得出DE>DM,EF>MF,所有DE+EF+DF>DM+MF+DF,根据上面可得DM+MF+DF>AC,所以DEF的周长>AC.
3、当E和M重合,且F在AN上时,同上证明可得DEF的周长>AC.
4、当E在MC上,F在AN上时,则DE>DM,DF>DN,EF>MN,所以DEF的周长大于DMN的周长,由上面的证明可得DMN的周长>AC,所以DEF的周长>AC.
5、当E在MC上,F在BN上时,则DE>DM,DF>DN,EF>BM=DM,所以DEF的周长>3DM,因为2DM²=DC²=（AC/2)²,所以DEF的周长>AC.
6、当F在AN上,E在BM上时,同上证明可得DEF的周长>AC.
7、当E在BM上,F在BN上时,则可以有DE²=DM²+ME²,DF²=DN²+NF²,EF²=BE²+BF².所以DE²+DF²+EF²=DM²+ME²+DN²+NF²+BE²+BF²=（DM²+ME²+BE²）+(DN²+BF²+NF²).因为ME+BE=BM=DM,BF+NF=BN=DN,所有当且只有当ME=BM=NF=BN时,DE²+DF²+EF²的值最小,当且只有当ME=BM=NF=BN时,DEF的周长最小,此时DEF周长等于AC,但是因为DEF是三角形,所以ME=BM=NF=BN是不可能成立的,即EF点不可能同时和B重合,所以DEF的周长只能大于AC.
综上所证,不管E,F在任何位置,DEF的周长>AC.
不知道你能否看懂,因为最后一种情况用到勾股定理了,看起来有点复杂.
我还想到一种更简单的证明方法.这应该容易看懂了.
连接BD,设BD与EF的交点为O,则三角形DEF的周长=(DE+EO)+(DF+FO),因为在三角形DEO中,当且只有当E到BD的距离为0时,DE+EO才能取得最小值,在三角形DFO中,当且只有当F到BD的距离为0时,DF+FO才能取得最小值.所以 （DE+EO)+(DF+FO)要取得最小值必须同时满足E,F两个点到BD的距离同时为0,而如果E,F到BD的距离都为0时,（DE+EO)+(DF+FO)=2BD=AC,因为DEF是三角形,所以E,F两个点到BD的距离同时为0是不可能成立的,所以DEF的周长肯定大于AC.如果看不懂你自己画下图就很容易明白了.
补充证明过：图片传不上来,所以只能用文字说明,可以自己对照着画图看看.
根据EF的位置可以分为几种情况.设M是BC的中点,N是AB的中点.
1、当E,F分别与M,N重合时,则可以得出,EF=AC/2,因为DE+DF>EF,所以DEF的周长>AC.
2、当E在MC上,且F与N重合时,则可以得出DE>DM,EF>MF,所有DE+EF+DF>DM+MF+DF,根据上面可得DM+MF+DF>AC,所以DEF的周长>AC.
3、当E和M重合,且F在AN上时,同上证明可得DEF的周长>AC.
4、当E在MC上,F在AN上时,则DE>DM,DF>DN,EF>MN,所以DEF的周长大于DMN的周长,由上面的证明可得DMN的周长>AC,所以DEF的周长>AC.
5、当E在MC上,F在BN上时,则DE>DM,DF>DN,EF>BM=DM,所以DEF的周长>3DM,因为2DM²=DC²=（AC/2)²,所以DEF的周长>AC.
6、当F在AN上,E在BM上时,同上证明可得DEF的周长>AC.
7、当E在BM上,F在BN上时,则可以有DE²=DM²+ME²,DF²=DN²+NF²,EF²=BE²+BF².所以DE²+DF²+EF²=DM²+ME²+DN²+NF²+BE²+BF²=（DM²+ME²+BE²）+(DN²+BF²+NF²).因为ME+BE=BM=DM,BF+NF=BN=DN,所有当且只有当ME=BM=NF=BN时,DE²+DF²+EF²的值最小,当且只有当ME=BM=NF=BN时,DEF的周长最小,此时DEF周长等于AC,但是因为DEF是三角形,所以ME=BM=NF=BN是不可能成立的,即EF点不可能同时和B重合,所以DEF的周长只能大于AC.
综上所证,不管E,F在任何位置,DEF的周长>AC.
不知道你能否看懂,因为最后一种情况用到勾股定理了,看起来有点复杂.
我还想到一种更简单的证明方法.这应该容易看懂了.
连接BD,设BD与EF的交点为O,则三角形DEF的周长=(DE+EO)+(DF+FO),因为在三角形DEO中,当且只有当E到BD的距离为0时,DE+EO才能取得最小值,在三角形DFO中,当且只有当F到BD的距离为0时,DF+FO才能取得最小值.所以 （DE+EO)+(DF+FO)要取得最小值必须同时满足E,F两个点到BD的距离同时为0,而如果E,F到BD的距离都为0时,（DE+EO)+(DF+FO)=2BD=AC,因为DEF是三角形,所以E,F两个点到BD的距离同时为0是不可能成立的,所以DEF的周长肯定大于AC.如果看不懂你自己画下图就很容易明白了.