灵鹊做题网一道定积分的问题,可否用分部积分法来做出来?
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 21:02:08
一道定积分的问题,可否用分部积分法来做出来?
∫ xsinx / (1+cos²x) dx
= ∫ - x d arctan(cosx)
= [- x arctan(cosx)] + ∫arctan(cosx) dx
= π²/4 + ∫arctan(cosx) dx
令 t=cosx ,x=arccost
∫arctan(cosx) dx
= ∫ arctant / -√(1-t²) dt
奇函数,积分区间对称,其值为0
故原积分= π²/4
再问： ∫arctan(cosx) dx 这个地方我又用了一次分布积分法 结果得到了一个恒等式 怎么才能避免这种情况呢？ 你对 ∫arctan(cosx) dx 处理的太巧秒了 佩服啊
再答： 连续不变形式地用两次当然又变回去了
= ∫ - x d arctan(cosx)
= [- x arctan(cosx)] + ∫arctan(cosx) dx
= π²/4 + ∫arctan(cosx) dx
令 t=cosx ,x=arccost
∫arctan(cosx) dx
= ∫ arctant / -√(1-t²) dt
奇函数,积分区间对称,其值为0
故原积分= π²/4
再问： ∫arctan(cosx) dx 这个地方我又用了一次分布积分法 结果得到了一个恒等式 怎么才能避免这种情况呢？ 你对 ∫arctan(cosx) dx 处理的太巧秒了 佩服啊
再答： 连续不变形式地用两次当然又变回去了