两个容器,一个容量为27L,另一个容量为15L,如何利用它们从一桶油中倒出6L油来?

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 21:42:05

两个容器,一个容量为27L,另一个容量为15L,如何利用它们从一桶油中倒出6L油来?
答案是这样写：（27,15）=3 27=15+12 ,15=12+3,3=15-12=15-（27-1*15）即3=2*15-27 ,于是6=4*15-2*27 首先,我想问为什么会用求最大公约数,这种题目想不到会用最大公约数啊,第二,这样做的原理是什么

题目的意思就是用27与15线性组合,得到6,这是数论的典型题.
即：27x+15y=6
9x+5y=2
(9,5)=1 |2 必定有解.
题目数字小,直接可以观察出来特解.
但如果观察不出来,就通过求最大公约数的过程得出一个特
9=5+4
5=4+1　出现公约数“1”即可反推：
公约数1＝5-4＝5*2-9
所以有：2＝5*4-9*2　即6=15*4-27*2
（x,y)=(-2,4)即得一个特解.通解是（-2+5t,4-9t）,t是任意整数.
再问： "9x+5y=2 (9,5)=1 |2 必定有解" 请问，这句话9x+5y=2 为什么要想到(9,5)=1 |2，并且说必定有解？
再答：定理：ax+by=c有解的充要条件是：(a,b)|c 如果r=（9,5），则r|9 r|5必有r|9x+5y=2 如果r不能整除2, 显然9x+5y不可能＝2. 可以证明，r｜2时，必定有解。这一点通过上述求公约数过程及其反推过程，已经证明解的存在。

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