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已知双曲线E：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C：y=x2+1相切于第一象限内的点P．

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/06/13 11:27:11
已知双曲线E：
x
已知双曲线E：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C：y=x2+1相切于第一象限内的点P．
（I）设切点P的坐标为(x0，
x20+1)，则切线的斜率为(x2+1)′|x＝x0＝2x0…（1分）
因为双曲线E的渐近线y＝
b
ax与抛物线C相切，所以2x0＝
b
a①
又
x20+1＝
b
ax0②
由①、②消去x0得：(
b
2a)2+1＝
b2
2a2，即b2=4a2，…（3分）
又c2=a2+b2，所以c2-a2=4a2，c2=5a2，
即e2＝
c2
a2＝5，e＝
5．…（4分）
由①、②还可得
x20+1＝2
x20，即x0=±1，
又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分
（II）由（I）得l1的方程为y=2x，点F的坐标为(
5a，0)，双曲线E的方程为4x2-y2=4a2．
因为l1⊥l2，所以l2的方程为y＝−
1
2(x−
5a)．
由

y＝−
1
2(x−
5a)
4x2−y2＝4a2消去y得：15x2+2
5ax−21a2＝0．
从而xA+xB＝−
2
5
15a，xAxB＝−
7
5a2．
故|AB|＝
1+(−
1
2)2•
(xA+xB)2−4xAxB=

5
4•
(−
2
5
15a)2+
28
5a2=
8
3a．…（7分）
由点到直线的距离公式得△PAB的高h＝|a−
5|．…（8分）
所以△PAB的面积S＝
4
3a|a−
5|＝
40
3．
当0＜a＜5时，a(a−
5)＝10，即a2−
5a+10＝0，无实数解；
当a≥5时，a(a−
5)＝10，即a2−
5a+10＝0，
解得a＝2
5或a＝−
5（舍去）…（11分）
故a＝2
5，b＝2a＝4
5，
所以所求方程为
x2
20−
y2
80＝1．…（12分）
设双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　） 已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于一点M（1，m），点&n 若双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ 已知点A是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点，F是抛物线的焦点， 已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x−1相切，且右焦点F为抛物线y2=20x的焦点 已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右准线与一条渐近线交于点M，F是右焦点，若|MF|=1，且双曲线 已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为 已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2＝1（a＞0，b＞0），过右焦点F作双曲线在一，三象限的渐近线的垂线l，垂足为P， 已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a，b＞0)的一条渐近线方程是y＝12x，它的一个焦点在抛物线y2＝45x的准线上 （2014•河南二模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦距为25，抛物线y=116x2+1与双曲 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a2c与一条渐近线交于点A，△OAF的 已知双曲线x2a2−y2b2＝1  (a＞0，b＞0)经过点A(355，455)，其渐近线方程为y=