关于判断三角形形状. 有三角函数存在的

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 16:35:09

关于判断三角形形状. 有三角函数存在的
在三角形ABC中. 已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA.判断三角形的形状

因为 bcosB＋ccosC＝acosA,
由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA,
即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA,
所以2sin(B＋C)cos（B－C）＝2sinAcosA
因为 A＋B＋C＝π,∴sin（B＋C）＝sinA 而sinA≠0
cos（B－C）＝cosA,即cos（B－C）＋cos（B＋C）＝0
所以 2cosBcosC＝0
因为 0＜B＜π,0＜C＜π,
所以B＝90 或C＝ 90
即△ABC是直角三角形
参考:
令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC,并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

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