作业帮 > 数学 > 作业

已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2021/10/24 17:37:01
已知四边形ABCD的四条边满足:AB2+CD2=BC2+DA2,求证:AC⊥BD
就是平方
用余弦定理即可.假设两条对角线相交形成4个线段和4个角(2对对顶角).
四线段命名为a,b,c,d,角用角1和角2表示.
根据余弦定理:
AB2=a2+b2-2ab*cos(角1)
CD2=c2+d2-2cd*cos(角1)
AD2=a2+d2-2ad*cos(角2)
BC2=c2+b2-2cb*cos(角2)
且角1=180-角2,也就是cos(角1)=-cos(角2)
再加上题目条件AB2+CD2=AD2+BC2,代入后得
(ab+cd+ad+bc)cos(角1)=0
因为a,b,c,d都大于0,所以cos(角1)=0,那么角1就是90度,角2=180-角1=90度
完毕