数学的一道压轴题线段AB=CD,AB⊥CD,求证:AC+BD≥根号2AB

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 06:44:13

数学的一道压轴题
线段AB=CD,AB⊥CD,求证:AC+BD≥根号2AB

中心设为O 连AC ,BD. 所以等式左边的平方=AC^2+BD^2+2AC*BD=AO^2+CO^2+BO^2+DO^2+2AC*BD=（AO+BO）^2+（CO+DO）^2-2AO*BO-2CO*DO+2AC*BD=2AB^2+2(AC*BD-AO*BO-CO*DO)
等式右边平方等于2AB^2
所以只要证明出AC*BD-AO*BO-CO*DO≥0就行了
由题意AB=CD 可以知道直角三角形AOD和COB全等.这里要注意角的对应关系.显然AO=CO BO=DO
所以上面不等式只用证明AC*BD ≥2AO*BO就行了
再次对不等式两边取平方,所以只用证明AC^2*BD^2≥4AO^2*BO^2
而AC^2=AO^2+CO^2=2AO^2 BD^2=BO^2+DO^2=2BO^2
所以不等式左边乘积为4AO^2*BO^2 与不等式右边相等
对不等式成立条件为“或关系”,因为不等式中等式这一条符合,所以不等式成立
所以原命题也成立了
楼下的如果认为AO=BO=CO=DO 我对你思考的不细致笑而不语
纯手打觉得对的就给分吧

ac =ad bc=bd ab和cd 相交于 e 求证直线ab 是线段 cd的垂直平分线! 已知AB⊥BD,AC⊥CD,AB=AC,求证BD=CD 已知：如图,AB=BD,AC⊥CD,AB=AC.求证：BD=CD 如图,已知AB⊥BD,AC⊥AB,AB=AC,求证:BD=CD 如图所示,AB=CD,BD=AC,AB//CD.求证,AB⊥BC,全等三角形! 已知AB,CD是两条不在同一平面内的线段,且AC=AD,BC=BD,求证AB⊥CD 如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于点E.求证：直线AB是线段CD的垂直平分线已知,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于E,求证直线AB是线段CD的中垂线. 如图:线段AB=CD,AC与BD交于点O,∠AOC=60°,求证:AC+BD≥AB 已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,求证BC的平方=2AC× CD 已知四边形ABCD内接于圆O,对角线AC⊥BD,F为线段AB的中点,求证:OF=1/2CD 如图，已知：线段AB=CD，AB与DC相交于O，∠AOC=60°．求证：AC+BD≥AB．