灵鹊做题网2道积分题 1.设函数f（x）在（0,+∞）内连续,且f（1）=5/2,且对所有的x,t∈R,满足条件∫f（u）du=t
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 15:51:33
2道积分题
1.设函数f（x）在（0,+∞）内连续,且f（1）=5/2,且对所有的x,t∈R,满足条件
∫f（u）du=t∫f（u）+x∫f（u）du,求f（x）.
该题的第一个积分号的上限是xt,第二个是x,第三个是t,所有积分号的下限是1
2.设f（x）在【0,1】上连续,（0,1）上可导,且满足f(1)=k∫xef（x）dx（k>1）证明存在一点m∈（0,1）,使f′（m）=（1-m）f（m）.
该题中积分上限是1/k,下限是0 且需要证明的式子的等号右边的第一个m的指数为-1.
1.设函数f（x）在（0,+∞）内连续,且f（1）=5/2,且对所有的x,t∈R,满足条件
∫f（u）du=t∫f（u）+x∫f（u）du,求f（x）.
该题的第一个积分号的上限是xt,第二个是x,第三个是t,所有积分号的下限是1
2.设f（x）在【0,1】上连续,（0,1）上可导,且满足f(1)=k∫xef（x）dx（k>1）证明存在一点m∈（0,1）,使f′（m）=（1-m）f（m）.
该题中积分上限是1/k,下限是0 且需要证明的式子的等号右边的第一个m的指数为-1.
1.对x求导
tf(xt)=tf(x)+(1,t)∫f(u)du
原式对t求导
xf(xt)=(1,x)∫f(u)du+xf(t)
两式消去f(xt)
得xtf(x)-xtf(t)+x(1,t)∫f(u)du-t(1,x)∫f(u)du=0
t=1,xf(x)-xf(1)-(1,x)∫f(u)du=0
求解这个积分方程,令y=(1,x)∫f(u)du,所以y'=f(x)
即y'-y/x=5/2,为一阶线性微分方程
y=∫e^(∫1/xdx)dx[C+∫5/2e^(-∫1/xdx)dx]
=x^2[C+5/2lnx]
y(1)=0=C,所以y=5x^2lnx/2
所以f(x)=y'=5xlnx+5x/2
2.第二个那儿ef(x)是什么意思?是e^f(x)?是不是对k>1恒成立?
换元t=1/k,0
tf(xt)=tf(x)+(1,t)∫f(u)du
原式对t求导
xf(xt)=(1,x)∫f(u)du+xf(t)
两式消去f(xt)
得xtf(x)-xtf(t)+x(1,t)∫f(u)du-t(1,x)∫f(u)du=0
t=1,xf(x)-xf(1)-(1,x)∫f(u)du=0
求解这个积分方程,令y=(1,x)∫f(u)du,所以y'=f(x)
即y'-y/x=5/2,为一阶线性微分方程
y=∫e^(∫1/xdx)dx[C+∫5/2e^(-∫1/xdx)dx]
=x^2[C+5/2lnx]
y(1)=0=C,所以y=5x^2lnx/2
所以f(x)=y'=5xlnx+5x/2
2.第二个那儿ef(x)是什么意思?是e^f(x)?是不是对k>1恒成立?
换元t=1/k,0
三道微积分题目1.设f(x)的导函数连续且满足 [f(x)]^2=100 +∫(0到x) {[f(t)]^2+[f'(t
设f(x)为连续函数,且满足tf(t)在区间（1,x）上对t的积分等于xf(x)+x^2,求f(x).
设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X)
设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=2008，且对任意x∈R，满足f（x+2）-f（x）≤3•2x，f（x+6）-
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下（t-x）f（t）dt 求f（x）
设函数f（x)在负无穷到正无穷内连续,且F（x）=∫（0到x）（x-2t）f（t)dt,
高数定积分的难题帮忙解一下：设函数f（x）连续,且（积分上限x 积分下限0）t(2x-t)dt=1/2arctan(x^
设f(x)是定义在R连续的偶函数,且当x>0时,f(x)为单调函数,则满足f(x)=（x+3/x+4） 的所有x 之和为
设f(x)是定义在R上的奇函数,且当X≥0时,f（X）=X2,若对任意的X∈[t,t+2],不等式f（X+t）≥2（X）
设函数f(x)具有连续的导数且满足方程,∫(0-x)(x-t+1)f'(t)dt=x^2+e^x-f(x),求f(x)
设函数f(x)可微且满足关系式：{积分符号从0到x }[2f(t)-1]=f(x)-1,求f(x)
设y=f(x)在（-∞,+∞）上连续且单调递减,试证：函数F(x)=∫ {0,x}（x-2t)f(t)dt 在（-∞,+