灵鹊做题网证明 罗必达法则 1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 00:35:14
证明 罗必达法则
1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
这个可以用 当x→a时 f(x)都趋于零再用柯西中值定理来证明
但是 当x→∞时,limf(a)=f(a) ,
x→a
那怎么证明x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
1)当x→a时,函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大),那么
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
这个可以用 当x→a时 f(x)都趋于零再用柯西中值定理来证明
但是 当x→∞时,limf(a)=f(a) ,
x→a
那怎么证明x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)
x→∞可以把x用1/x代换,即可变为1/x→0的形式,
我们可以来算一下
x→∞,f(x)→0,F(x)→0
lim (x→∞) f(x)/F(x)
(取y=1/x)
=lim(y→0) f(1/y)/F(1/y)
(由你已经证明出来的情况得到)
=lim(y→0) f'(1/y)(-1/y^2)/[F'(1/y)(-1/y^2)]
=lim(y→0) f'(1/y)/F'(1/y)
=lim(x→∞) f'(x)/F'(x)
我们可以来算一下
x→∞,f(x)→0,F(x)→0
lim (x→∞) f(x)/F(x)
(取y=1/x)
=lim(y→0) f(1/y)/F(1/y)
(由你已经证明出来的情况得到)
=lim(y→0) f'(1/y)(-1/y^2)/[F'(1/y)(-1/y^2)]
=lim(y→0) f'(1/y)/F'(1/y)
=lim(x→∞) f'(x)/F'(x)
高数里洛必达法则 条件中有一条是 当x趋于0时,函数f（x）及F（x）都趋于零
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